题目
(int )_(-3)^3sqrt (9-{x)^2}dx= ．
题目解答
答案
解:由积分的几何意义可知,
是曲线
与x轴围成的图形的面积
而
与x轴围成的图形是以原局部单连通以7为半径的圆的上半圆
故答案为:
解析
步骤 1：理解积分的几何意义
积分 ${\int }_{-3}^{3}\sqrt {9-{x}^{2}}dx$ 表示的是函数 $y=\sqrt {9-{x}^{2}}$ 在区间 $[-3, 3]$ 上与x轴围成的图形的面积。这个函数表示的是一个半径为3的圆的上半部分，因为 $y=\sqrt {9-{x}^{2}}$ 可以重写为 ${x}^{2}+{y}^{2}=9$，这是圆心在原点，半径为3的圆的方程。
步骤 2：计算面积
由于积分表示的是圆的上半部分的面积，我们可以直接计算出这个面积。圆的面积公式是 $\pi r^2$，其中 $r$ 是圆的半径。对于半径为3的圆，其面积是 $\pi \times 3^2 = 9\pi$。因为积分只表示圆的上半部分，所以面积是圆面积的一半，即 $\dfrac{9\pi}{2}$。
积分 ${\int }_{-3}^{3}\sqrt {9-{x}^{2}}dx$ 表示的是函数 $y=\sqrt {9-{x}^{2}}$ 在区间 $[-3, 3]$ 上与x轴围成的图形的面积。这个函数表示的是一个半径为3的圆的上半部分，因为 $y=\sqrt {9-{x}^{2}}$ 可以重写为 ${x}^{2}+{y}^{2}=9$，这是圆心在原点，半径为3的圆的方程。
步骤 2：计算面积
由于积分表示的是圆的上半部分的面积，我们可以直接计算出这个面积。圆的面积公式是 $\pi r^2$，其中 $r$ 是圆的半径。对于半径为3的圆，其面积是 $\pi \times 3^2 = 9\pi$。因为积分只表示圆的上半部分，所以面积是圆面积的一半，即 $\dfrac{9\pi}{2}$。