题目
(12)(dy)/(dx)=10^x+y.
(12)$\frac{dy}{dx}=10^{x+y}.$
题目解答
答案
将方程分离变量得：
\[
\frac{dy}{10^y} = 10^x \, dx
\]
两边积分：
\[
\int 10^{-y} \, dy = \int 10^x \, dx
\]
利用积分公式 $\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$，得：
\[
-\frac{10^{-y}}{\ln 10} = \frac{10^x}{\ln 10} + C
\]
消去分母 $\ln 10$：
\[
-10^{-y} = 10^x + C'
\]
整理得通解：
\[
\boxed{10^x + 10^{-y} = C}
\]
其中，$C$ 为任意常数。
解析
考查要点：本题主要考查可分离变量微分方程的解法，需要将方程中的变量分离后分别积分，最终得到通解。
解题核心思路：
- 分离变量：将方程改写为关于$y$的函数和关于$x$的函数分别在等式两边的形式。
- 积分求解：对两边分别积分，利用指数函数的积分公式。
- 整理通解：通过代数变形消去积分常数，得到最终的通解形式。
破题关键点：
- 正确拆分指数项：将$10^{x+y}$拆分为$10^x \cdot 10^y$，从而实现变量分离。
- 积分公式的应用：熟练使用$\int a^t \, dt = \frac{a^t}{\ln a} + C$。
步骤1：分离变量
原方程为$\frac{dy}{dx} = 10^{x+y}$，将指数项拆分：
$\frac{dy}{dx} = 10^x \cdot 10^y.$
两边同时除以$10^y$，得到：
$\frac{dy}{10^y} = 10^x \, dx.$
步骤2：积分求解
对两边分别积分：
- 左边积分：$\int 10^{-y} \, dy$
令$a = 10$，则$\int 10^{-y} \, dy = \frac{10^{-y}}{-\ln 10} + C_1 = -\frac{10^{-y}}{\ln 10} + C_1$。 - 右边积分：$\int 10^x \, dx$
直接应用公式得$\frac{10^x}{\ln 10} + C_2$。
步骤3：整理方程
将两边积分结果联立，合并常数项：
$-\frac{10^{-y}}{\ln 10} = \frac{10^x}{\ln 10} + C,$
两边同乘$\ln 10$消去分母：
$-10^{-y} = 10^x + C',$
整理得通解：
$10^x + 10^{-y} = C \quad (\text{其中} \, C \, \text{为任意常数}).$