题目
7.27求微分方程 (y+√(x^2+y^2))dx=xdy 的通解,并求满足y(1)=0的特解
7.27求微分方程 (y+√(x^2+y^2))dx=xdy 的通解,并求满足y(1)=0的特解
题目解答
答案
y+√(x^2+y^2)dx=xdy (d4)/(nx)=y/x+√(1+(y/x)^2) y/x=u,y=ux (xo)y'=u'x+u ∴cosx+u=a+√(1+u^2) u'x=√(1+u^2) (du)/(√(1+L^2))=(dv)/x l_m(a+√(u^2+1))=lnl+C_1 u+√(u^2+1)=1x|+C y+√(x^2+y^2)=x1x|+(x x=1.y=01=1+CC=0y+√(x^2+y^2)=x/x| √(x^2+y^2)=x^2-y x^2+y^2=(x^2-y^2 x^2+y^2=x^4-2x^2y+y2 y=(x^2)/2-1/2 x0(25x+ 之.∴y=1/2(x^2-1)
解析
步骤 1：将微分方程转换为可分离变量的形式
给定微分方程为：(y + √(x^2 + y^2))dx = xdy
将方程两边同时除以x，得到：(y/x + √(1 + (y/x)^2))dx = dy
步骤 2：引入变量替换
令 u = y/x，则 y = ux，dy = udx + xdu
将 y 和 dy 代入方程，得到：(u + √(1 + u^2))dx = udx + xdu
步骤 3：分离变量并积分
将方程化简为：√(1 + u^2)dx = xdu
分离变量，得到：(du)/(√(1 + u^2)) = (dx)/x
对两边积分，得到：ln|u + √(1 + u^2)| = ln|x| + C
步骤 4：求通解
将 u = y/x 代入，得到：ln|y/x + √(1 + (y/x)^2)| = ln|x| + C
化简得到：y + √(x^2 + y^2) = Cx
步骤 5：求特解
将 y(1) = 0 代入通解，得到：0 + √(1 + 0) = C * 1
解得：C = 1
将 C = 1 代入通解，得到特解：y + √(x^2 + y^2) = x
给定微分方程为：(y + √(x^2 + y^2))dx = xdy
将方程两边同时除以x，得到：(y/x + √(1 + (y/x)^2))dx = dy
步骤 2：引入变量替换
令 u = y/x，则 y = ux，dy = udx + xdu
将 y 和 dy 代入方程，得到：(u + √(1 + u^2))dx = udx + xdu
步骤 3：分离变量并积分
将方程化简为：√(1 + u^2)dx = xdu
分离变量，得到：(du)/(√(1 + u^2)) = (dx)/x
对两边积分，得到：ln|u + √(1 + u^2)| = ln|x| + C
步骤 4：求通解
将 u = y/x 代入，得到：ln|y/x + √(1 + (y/x)^2)| = ln|x| + C
化简得到：y + √(x^2 + y^2) = Cx
步骤 5：求特解
将 y(1) = 0 代入通解，得到：0 + √(1 + 0) = C * 1
解得：C = 1
将 C = 1 代入通解，得到特解：y + √(x^2 + y^2) = x