题目
计算下列积分:-|||-(9) (int )_(-e)^-2dfrac (dx)(1+x);-|||-(10) (int )_(0)^dfrac (pi {4)}(tan )^2theta dtheta ;-|||-(11) (int )_(0)^2pi |sin x|dx;-|||-(12) (f(x)dx,其中 f(x)= { {x)^2,xgt 1 .
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算积分 ${\int }_{-e-1}^{-2}\dfrac {dx}{1+x}$
该积分可以通过直接积分求解，因为 $\dfrac {1}{1+x}$ 的原函数是 $\ln|1+x|$。
步骤 2：计算积分 ${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{4}}{\tan }^{2}\theta d\theta$
使用三角恒等式 ${\tan }^{2}\theta = {\sec }^{2}\theta - 1$，将积分转换为 ${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{4}}({\sec }^{2}\theta - 1)d\theta$，然后分别积分。
步骤 3：计算积分 ${\int }_{0}^{2\pi }|\sin x|dx$
由于 $|\sin x|$ 在 $[0, 2\pi]$ 上是周期函数，可以将其分成两个区间 $[0, \pi]$ 和 $[\pi, 2\pi]$，在每个区间上分别积分。
步骤 4：计算积分 ${\int }_{0}^{2}f(x)dx$，其中 $f(x)=\left \{ \begin{matrix} x+1,\quad x\leqslant 1\\ \dfrac {1}{2}{x}^{2},\quad x\gt 1\end{matrix} \right.$
将积分分成两部分，分别在 $[0, 1]$ 和 $[1, 2]$ 上积分。
该积分可以通过直接积分求解，因为 $\dfrac {1}{1+x}$ 的原函数是 $\ln|1+x|$。
步骤 2：计算积分 ${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{4}}{\tan }^{2}\theta d\theta$
使用三角恒等式 ${\tan }^{2}\theta = {\sec }^{2}\theta - 1$，将积分转换为 ${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{4}}({\sec }^{2}\theta - 1)d\theta$，然后分别积分。
步骤 3：计算积分 ${\int }_{0}^{2\pi }|\sin x|dx$
由于 $|\sin x|$ 在 $[0, 2\pi]$ 上是周期函数，可以将其分成两个区间 $[0, \pi]$ 和 $[\pi, 2\pi]$，在每个区间上分别积分。
步骤 4：计算积分 ${\int }_{0}^{2}f(x)dx$，其中 $f(x)=\left \{ \begin{matrix} x+1,\quad x\leqslant 1\\ \dfrac {1}{2}{x}^{2},\quad x\gt 1\end{matrix} \right.$
将积分分成两部分，分别在 $[0, 1]$ 和 $[1, 2]$ 上积分。