求极限：lim _(xarrow 0)dfrac (3x)(1-sqrt {1+sin x)}

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是处理分母为根号表达式导致的不定型（0/0型）的方法，以及等价无穷小的替换应用。

解题核心思路：

1. 分母有理化：通过分子分母同乘以分母的共轭，消除根号，将原式转化为更易处理的形式。
2. 等价无穷小替换：当$x \rightarrow 0$时，$\sin x \sim x$，利用这一替换简化表达式。
3. 极限运算：结合有理化后的表达式和等价无穷小替换，逐步化简求极限。

破题关键点：

• 识别分母为根号表达式导致的不定型，优先考虑有理化。
• 正确处理负号，避免符号错误。
• 合理应用等价无穷小替换，简化计算步骤。

步骤1：分母有理化
原式为：
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {3x}{1-\sqrt {1+\sin x}}$
分子分母同乘以分母的共轭$1+\sqrt{1+\sin x}$：
$\begin{aligned}\text{原式} &= \lim _{x\rightarrow 0} \dfrac{3x \cdot (1+\sqrt{1+\sin x})}{(1-\sqrt{1+\sin x})(1+\sqrt{1+\sin x})} \\&= \lim _{x\rightarrow 0} \dfrac{3x(1+\sqrt{1+\sin x})}{1 - (1+\sin x)} \\&= \lim _{x\rightarrow 0} \dfrac{3x(1+\sqrt{1+\sin x})}{-\sin x}\end{aligned}$

步骤2：分离变量与等价无穷小替换
将分式拆分为两部分：
$\lim _{x\rightarrow 0} \dfrac{3x}{-\sin x} \cdot (1+\sqrt{1+\sin x})$
当$x \rightarrow 0$时，$\sin x \sim x$，因此$\dfrac{x}{\sin x} \rightarrow 1$，故：
$\lim _{x\rightarrow 0} \dfrac{3x}{-\sin x} = -3$

步骤3：计算剩余部分的极限
当$x \rightarrow 0$时，$\sin x \rightarrow 0$，因此：
$1+\sqrt{1+\sin x} \rightarrow 1+\sqrt{1+0} = 2$

步骤4：综合结果
将两部分的极限相乘：
$-3 \cdot 2 = -6$