题目

n 阶矩阵 A 可逆的充分必要条件是 () A. 任一行向量都是非零向量 B. 任一列向量都是非零向量 C. Ax=b 有解 D. Ax=0 仅有零解

n 阶矩阵 A 可逆的充分必要条件是 ()

A. 任一行向量都是非零向量
B. 任一列向量都是非零向量
C. Ax=b 有解
D. Ax=0 仅有零解

题目解答

答案

n 阶矩阵 A 可逆 ⇔A=P1P2…PlE ， P1 ， P2 ， …Pl 为初等矩阵 ⇔|A|≠0⇔R(A)=n.

R(A)=n⇒ 矩阵任意行 ( 列 ) 向量都是非零向量，矩阵任意行 ( 列 ) 向量都是非零向量不能推出 |A|=0 ，所以，选项 A ， B 是 n 阶矩阵 A 可逆的必要条件，故选项 A ， B 错误；

R(A)=n⇔Ax=b 有唯一解，但是， Ax=b 有解 ⇔R(A)=R(A,b) ，此时 R(A)=R(A,b) 可以小于 n ，所以，选项 C 是 n 阶矩阵 A 可逆的必要条件，故选项 C 错误；

R(A)=n⇔Ax=0 仅有零解，故选项 D 正确。

故选：D.

解析

步骤 1：理解矩阵可逆的定义
矩阵 A 可逆的定义是存在一个矩阵 B，使得 AB = BA = E，其中 E 是单位矩阵。这等价于矩阵 A 的行列式不为零，即 |A| ≠ 0。

步骤 2：分析选项 A 和 B
选项 A 和 B 都是关于矩阵 A 的行向量或列向量的描述。虽然矩阵 A 的行向量或列向量都是非零向量是矩阵 A 可逆的必要条件，但不是充分条件。因为即使矩阵 A 的行向量或列向量都是非零向量，矩阵 A 的行列式仍可能为零，从而矩阵 A 不可逆。

步骤 3：分析选项 C
选项 C 描述的是线性方程组 Ax = b 有解。这等价于矩阵 A 的秩等于增广矩阵 [A|b] 的秩，即 R(A) = R(A|b)。但是，这并不意味着矩阵 A 的秩等于 n，即 R(A) = n。因此，选项 C 是矩阵 A 可逆的必要条件，但不是充分条件。

步骤 4：分析选项 D
选项 D 描述的是线性方程组 Ax = 0 仅有零解。这等价于矩阵 A 的秩等于 n，即 R(A) = n。根据矩阵可逆的定义，这等价于矩阵 A 的行列式不为零，即 |A| ≠ 0。因此，选项 D 是矩阵 A 可逆的充分必要条件。