题目
设矩阵A= (} 1& 2& -5 0& -1& 2 1& -1& 0 ) .中第二列的三个元素依次为：______。
设矩阵
，则
中第二列的三个元素依次为：______。
题目解答
答案
答案为：5，5，3。本题已知矩阵，因为
，故
，故中第二列的三个元素依次为：5，5，3。
解析
步骤 1：构造增广矩阵
构造增广矩阵$(A,E)$，其中$E$是单位矩阵，即$(A,E)=\left (\begin{matrix} 1& 2& -5& 1& 0& 0\\ 0& -1& 2& 0& 1& 0\\ 1& -1& 0& 0& 0& 1\end{matrix} ) \right.$。
步骤 2：进行初等行变换
进行初等行变换，将增广矩阵化为单位矩阵的形式，即$(E,A^{-1})$。
- 第一步变换：$r_{3}-r_{1}$，得到$\left (\begin{matrix} 1& 2& -5& 1& 0& 0\\ 0& -1& 2& 0& 1& 0\\ 0& -3& 5& -1& 0& 1\end{matrix} ) \right.$。
- 第二步变换：$r_{1}+2r_{2}$，得到$\left (\begin{matrix} 1& 0& -1& 1& 2& 0\\ 0& -1& 2& 0& 1& 0\\ 0& -3& 5& -1& 0& 1\end{matrix} ) \right.$。
- 第三步变换：$r_{3}-3r_{2}$，得到$\left (\begin{matrix} 1& 0& -1& 1& 2& 0\\ 0& -1& 2& 0& 1& 0\\ 0& 0& -1& -1& -3& 1\end{matrix} ) \right.$。
- 第四步变换：$r_{1}-r_{3}$，得到$\left (\begin{matrix} 1& 0& 0& 2& 5& -1\\ 0& -1& 2& 0& 1& 0\\ 0& 0& -1& -1& -3& 1\end{matrix} ) \right.$。
- 第五步变换：$r_{2}+2r_{3}$，得到$\left (\begin{matrix} 1& 0& 0& 2& 5& -1\\ 0& -1& 0& -2& -5& 2\\ 0& 0& -1& -1& -3& 1\end{matrix} ) \right.$。
- 第六步变换：$-r_{2}$，得到$\left (\begin{matrix} 1& 0& 0& 2& 5& -1\\ 0& 1& 0& 2& 5& -2\\ 0& 0& -1& -1& -3& 1\end{matrix} ) \right.$。
- 第七步变换：$-r_{3}$，得到$\left (\begin{matrix} 1& 0& 0& 2& 5& -1\\ 0& 1& 0& 2& 5& -2\\ 0& 0& 1& 1& 3& -1\end{matrix} ) \right.$。
步骤 3：确定${A}^{-1}$中第二列的元素
从最终的增广矩阵中，可以读出${A}^{-1}=\left (\begin{matrix} 2& 5& -1\\ 2& 5& -2\\ 1& 3& -1\end{matrix} ) \right.$，因此${A}^{-1}$中第二列的三个元素依次为：5，5，3。
构造增广矩阵$(A,E)$，其中$E$是单位矩阵，即$(A,E)=\left (\begin{matrix} 1& 2& -5& 1& 0& 0\\ 0& -1& 2& 0& 1& 0\\ 1& -1& 0& 0& 0& 1\end{matrix} ) \right.$。
步骤 2：进行初等行变换
进行初等行变换，将增广矩阵化为单位矩阵的形式，即$(E,A^{-1})$。
- 第一步变换：$r_{3}-r_{1}$，得到$\left (\begin{matrix} 1& 2& -5& 1& 0& 0\\ 0& -1& 2& 0& 1& 0\\ 0& -3& 5& -1& 0& 1\end{matrix} ) \right.$。
- 第二步变换：$r_{1}+2r_{2}$，得到$\left (\begin{matrix} 1& 0& -1& 1& 2& 0\\ 0& -1& 2& 0& 1& 0\\ 0& -3& 5& -1& 0& 1\end{matrix} ) \right.$。
- 第三步变换：$r_{3}-3r_{2}$，得到$\left (\begin{matrix} 1& 0& -1& 1& 2& 0\\ 0& -1& 2& 0& 1& 0\\ 0& 0& -1& -1& -3& 1\end{matrix} ) \right.$。
- 第四步变换：$r_{1}-r_{3}$，得到$\left (\begin{matrix} 1& 0& 0& 2& 5& -1\\ 0& -1& 2& 0& 1& 0\\ 0& 0& -1& -1& -3& 1\end{matrix} ) \right.$。
- 第五步变换：$r_{2}+2r_{3}$，得到$\left (\begin{matrix} 1& 0& 0& 2& 5& -1\\ 0& -1& 0& -2& -5& 2\\ 0& 0& -1& -1& -3& 1\end{matrix} ) \right.$。
- 第六步变换：$-r_{2}$，得到$\left (\begin{matrix} 1& 0& 0& 2& 5& -1\\ 0& 1& 0& 2& 5& -2\\ 0& 0& -1& -1& -3& 1\end{matrix} ) \right.$。
- 第七步变换：$-r_{3}$，得到$\left (\begin{matrix} 1& 0& 0& 2& 5& -1\\ 0& 1& 0& 2& 5& -2\\ 0& 0& 1& 1& 3& -1\end{matrix} ) \right.$。
步骤 3：确定${A}^{-1}$中第二列的元素
从最终的增广矩阵中，可以读出${A}^{-1}=\left (\begin{matrix} 2& 5& -1\\ 2& 5& -2\\ 1& 3& -1\end{matrix} ) \right.$，因此${A}^{-1}$中第二列的三个元素依次为：5，5，3。