1 2 2-|||-例4.2 求矩阵A= 2 1 2 .-|||-2 2 1

考查要点：本题主要考查矩阵特征值与特征向量的求解方法，涉及特征多项式的计算、特征方程的求解以及基础解系的确定。

解题核心思路：

1. 构造特征矩阵 $\lambda E - A$，计算其行列式得到特征多项式；
2. 求解特征方程 $|\lambda E - A| = 0$，得到特征值；
3. 对每个特征值，求解齐次方程 $(\lambda E - A)x = 0$ 的基础解系，即特征向量。

破题关键点：

• 特征多项式的化简：通过行变换简化行列式的计算；
• 重特征值的处理：二重特征值对应的特征向量需找到两个线性无关的解；
• 基础解系的求解：通过矩阵的行阶梯形确定解的结构。

步骤1：构造特征矩阵并计算行列式

矩阵 $A$ 为：
$A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 2 \\2 & 1 & 2 \\2 & 2 & 1\end{pmatrix}$
特征矩阵为 $\lambda E - A$：
$\lambda E - A = \begin{pmatrix}\lambda - 1 & -2 & -2 \\-2 & \lambda - 1 & -2 \\-2 & -2 & \lambda - 1\end{pmatrix}$
计算行列式 $|\lambda E - A|$：
$\begin{vmatrix}\lambda - 1 & -2 & -2 \\-2 & \lambda - 1 & -2 \\-2 & -2 & \lambda - 1\end{vmatrix} = (\lambda - 5)(\lambda + 1)^2$

步骤2：求解特征方程

令 $|\lambda E - A| = 0$，得特征值：
$\lambda_1 = \lambda_2 = -1, \quad \lambda_3 = 5$

步骤3：求特征向量

对于 $\lambda_1 = \lambda_2 = -1$

构造矩阵 $(-1)E - A$：
$-1E - A = \begin{pmatrix}-3 & -2 & -2 \\-2 & -3 & -2 \\-2 & -2 & -3\end{pmatrix}$
通过行变换化简为：
$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
基础解系为：
$\xi_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \xi_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

对于 $\lambda_3 = 5$

构造矩阵 $5E - A$：
$5E - A = \begin{pmatrix}4 & -2 & -2 \\-2 & 4 & -2 \\-2 & -2 & 4\end{pmatrix}$
通过行变换化简为：
$\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 \\0 & 1 & -1 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
基础解系为：
$\xi_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$