22.某产品生产x件的总成本为c(x)=(2)/(3)x^3-22x^2+8x+3500，每件产品价格是30-(x)/(2)，求产量为多少件时才能获得最大利润.

考查要点：本题主要考查利用导数求解实际应用问题中的最大利润问题，涉及收入函数、成本函数、利润函数的建立，以及通过导数确定极值点的方法。

解题核心思路：

1. 建立利润函数：利润 = 收入 - 成本。根据题目给出的价格和成本函数，分别写出收入函数和成本函数，再求差得到利润函数。
2. 求导找极值：对利润函数求导，找到导数为零的临界点，通过二阶导数判断该点是否为极大值点。

破题关键点：

• 正确建立收入函数：注意价格是每件产品的价格，收入应为价格乘以产量。
• 准确求导：对多项式函数求导时需注意各项系数和符号。
• 验证极值性质：通过二阶导数的符号确定极大值的存在性。

1. 建立收入函数和利润函数

• 收入函数：每件产品价格为 $30 - \frac{x}{2}$，产量为 $x$，因此收入函数为：
  $R(x) = x \left(30 - \frac{x}{2}\right) = 30x - \frac{x^2}{2}$
• 成本函数：题目已给出 $C(x) = \frac{2}{3}x^3 - 22x^2 + 8x + 3500$。
• 利润函数：利润为收入减成本：
  $L(x) = R(x) - C(x) = \left(30x - \frac{x^2}{2}\right) - \left(\frac{2}{3}x^3 - 22x^2 + 8x + 3500\right)$
  化简得：
  $L(x) = -\frac{2}{3}x^3 + \frac{43}{2}x^2 + 22x - 3500$

2. 求导并找临界点

• 一阶导数：
  $L'(x) = -2x^2 + 43x + 22$
• 解方程 $L'(x) = 0$：
  $-2x^2 + 43x + 22 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x^2 - 43x - 22 = 0$
  利用求根公式：
  $x = \frac{43 \pm \sqrt{43^2 + 4 \cdot 2 \cdot 22}}{2 \cdot 2} = \frac{43 \pm 45}{4}$
  解得 $x = 22$（舍去负解 $x = -0.5$）。

3. 验证极大值

• 二阶导数：
  $L''(x) = -4x + 43$
• 在 $x = 22$ 处：
  $L''(22) = -4 \cdot 22 + 43 = -45 < 0$
  说明 $x = 22$ 是极大值点。