题目
2.[单选题] 判断：级数sum_(n=1)^infty((pi)/(2)-arctan n)cos npi是否收敛? ( )A. 收敛.B. 发散.
2.[单选题] 判断：级数$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\pi}{2}-\arctan n\right)\cos n\pi$是否收敛? ( )
A. 收敛.
B. 发散.
题目解答
答案
A. 收敛.
解析
步骤 1：重写级数
将级数重写为 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n$，其中 $a_n = \frac{\pi}{2} - \arctan n$。
步骤 2：分析 $a_n$ 的极限
计算 $a_n$ 的极限：$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{\pi}{2} - \arctan n\right) = 0$。
步骤 3：分析 $a_n$ 的单调性
计算 $a_n$ 的导数：$f'(x) = -\frac{1}{1+x^2} < 0$（$x > 0$），故 $a_n$ 单调递减。
步骤 4：应用莱布尼茨判别法
由于 $a_n$ 满足极限为零且单调递减，根据莱布尼茨判别法，级数收敛。
将级数重写为 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n$，其中 $a_n = \frac{\pi}{2} - \arctan n$。
步骤 2：分析 $a_n$ 的极限
计算 $a_n$ 的极限：$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{\pi}{2} - \arctan n\right) = 0$。
步骤 3：分析 $a_n$ 的单调性
计算 $a_n$ 的导数：$f'(x) = -\frac{1}{1+x^2} < 0$（$x > 0$），故 $a_n$ 单调递减。
步骤 4：应用莱布尼茨判别法
由于 $a_n$ 满足极限为零且单调递减，根据莱布尼茨判别法，级数收敛。