题目
2.写出二次型f(x_(1),x_(2))=x^T(}2&13&1)x的矩阵.
2.写出二次型$f(x_{1},x_{2})=x^{T}\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right)x$的矩阵.
题目解答
答案
为了找到二次型 $ f(x_1, x_2) = x^T \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} x $ 的矩阵，我们首先需要理解二次型的定义。一个二次型 $ f(x_1, x_2) $ 可以表示为 $ f(x_1, x_2) = x^T A x $，其中 $ x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} $ 是一个列向量，而 $ A $ 是一个对称矩阵。
给定的矩阵是 $ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} $，它不是对称的。为了找到二次型的对称矩阵，我们需要将给定的矩阵转换为一个对称矩阵。二次型 $ f(x_1, x_2) $ 的对称矩阵 $ A $ 可以通过取给定矩阵和它的转置的平均值来得到。即， $ A = \frac{1}{2} \left( \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \right) $。
让我们进行这个计算：
\[
A = \frac{1}{2} \left( \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \right) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}
\]
因此，二次型 $ f(x_1, x_2) = x^T \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} x $ 的矩阵是 $\boxed{\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}}$。
解析
步骤 1：理解二次型的定义
二次型 $f(x_1, x_2)$ 可以表示为 $f(x_1, x_2) = x^T A x$，其中 $x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$ 是一个列向量，而 $A$ 是一个对称矩阵。
步骤 2：确定给定矩阵
给定的矩阵是 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$，它不是对称的。
步骤 3：计算对称矩阵
为了找到二次型的对称矩阵，我们需要将给定的矩阵转换为一个对称矩阵。二次型 $f(x_1, x_2)$ 的对称矩阵 $A$ 可以通过取给定矩阵和它的转置的平均值来得到。即，$A = \frac{1}{2} \left( \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \right)$。
步骤 4：进行计算
\[ A = \frac{1}{2} \left( \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \right) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \]
二次型 $f(x_1, x_2)$ 可以表示为 $f(x_1, x_2) = x^T A x$，其中 $x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$ 是一个列向量，而 $A$ 是一个对称矩阵。
步骤 2：确定给定矩阵
给定的矩阵是 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$，它不是对称的。
步骤 3：计算对称矩阵
为了找到二次型的对称矩阵，我们需要将给定的矩阵转换为一个对称矩阵。二次型 $f(x_1, x_2)$ 的对称矩阵 $A$ 可以通过取给定矩阵和它的转置的平均值来得到。即，$A = \frac{1}{2} \left( \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \right)$。
步骤 4：进行计算
\[ A = \frac{1}{2} \left( \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \right) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \]