如果要令一个函数的话，请说明为什么那样写？？38 )设f(x)在[0,1 ]上连续,在(0,1 )内可导,且 (0)=0, (dfrac (1)(2))=2 (1)=dfrac (1)(2),-|||-(1)证明:存在 in (0,1), 使得 (c)=c;-|||-(2)证明:存在 xi in (0,1), 使得 '(xi )+f(xi )=1+xi .

考查要点：本题主要考查连续函数的介值定理和微分中值定理（罗尔定理）的应用，以及通过构造辅助函数解决存在性问题的能力。

解题思路：

1. 第一问：通过构造辅助函数$F(x)=f(x)-x$，利用介值定理证明存在零点，即$f(c)=c$。
2. 第二问：构造函数$G(x)=(f(x)-x)e^x$，利用罗尔定理证明其导数为零的点存在，从而得到$f'(\xi)+f(\xi)=1+\xi$。

破题关键：

• 辅助函数的构造是核心，需根据目标方程反向设计。
• 定理的选择需匹配函数的连续性和可导性条件。

第（1）题

构造辅助函数

令$F(x)=f(x)-x$，则$F(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导。

计算端点值

• $F(0)=f(0)-0=0$
• $F\left(\dfrac{1}{2}\right)=f\left(\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{1}{2}=2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}>0$
• $F(1)=f(1)-1=\dfrac{1}{2}-1=-\dfrac{1}{2}<0$

应用介值定理

由于$F\left(\dfrac{1}{2}\right)>0$且$F(1)<0$，根据介值定理，存在$c\in\left(\dfrac{1}{2},1\right)\subset(0,1)$，使得$F(c)=0$，即$f(c)=c$。

第（2）题

构造辅助函数

令$G(x)=(f(x)-x)e^x$，则$G(x)$在$[0,c]$上连续，在$(0,c)$内可导（$c$为第（1）题中的点）。

计算端点值

• $G(0)=(f(0)-0)e^0=0$
• $G(c)=(f(c)-c)e^c=0$（因$f(c)=c$）

应用罗尔定理

由于$G(0)=G(c)=0$，根据罗尔定理，存在$\xi\in(0,c)\subset(0,1)$，使得$G'(\xi)=0$。

求导并化简

$G'(x)=e^x(f(x)-x)+e^x(f'(x)-1)=e^x(f'(x)+f(x)-x-1)$
令$G'(\xi)=0$，因$e^\xi\neq0$，得：
$f'(\xi)+f(\xi)-\xi-1=0 \quad \Rightarrow \quad f'(\xi)+f(\xi)=1+\xi$