(1)设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，试证存在xiin(a,b)，使f'(xi)=(f(xi)-f(a))/(b-xi).

考查要点：本题主要考查罗尔定理的应用，以及通过构造辅助函数解决导数方程的能力。

解题核心思路：
题目要求证明存在一点$\xi \in (a,b)$，使得导数$f'(\xi)$等于特定表达式。这类问题通常需要构造一个辅助函数，使其满足罗尔定理的条件（端点函数值相等），从而利用罗尔定理得出导数为零的点，进而建立方程。

破题关键点：

1. 构造辅助函数：将目标方程变形为$(b-\xi)f'(\xi) = f(\xi)-f(a)$，并构造$g(x) = (b-x)(f(x)-f(a))$，使其导数形式与方程相关联。
2. 验证罗尔定理条件：确认$g(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$g(a)=g(b)=0$。
3. 应用罗尔定理：得出存在$\xi$使$g'(\xi)=0$，从而推导出原方程。

步骤1：构造辅助函数
定义辅助函数：
$g(x) = (b - x)(f(x) - f(a))$
关键点：

• 当$x=a$时，$g(a) = (b-a)(f(a)-f(a)) = 0$；
• 当$x=b$时，$g(b) = 0 \cdot (f(b)-f(a)) = 0$。
  因此，$g(a) = g(b) = 0$，满足罗尔定理的端点条件。

步骤2：验证函数性质

• 连续性：$f(x)$在$[a,b]$上连续，$b-x$是线性函数，故$g(x)$在$[a,b]$上连续。
• 可导性：$f(x)$在$(a,b)$内可导，$b-x$可导，故$g(x)$在$(a,b)$内可导。

步骤3：应用罗尔定理
根据罗尔定理，存在$\xi \in (a,b)$，使得$g'(\xi) = 0$。

步骤4：计算导数并化简
计算$g'(x)$：
$\begin{aligned}g'(x) &= \frac{d}{dx}[(b - x)(f(x) - f(a))] \\&= (b - x)f'(x) + (f(x) - f(a)) \cdot (-1) \\&= (b - x)f'(x) - (f(x) - f(a)).\end{aligned}$
令$g'(\xi) = 0$，得：
$(b - \xi)f'(\xi) - (f(\xi) - f(a)) = 0.$
整理得：
$f'(\xi) = \frac{f(\xi) - f(a)}{b - \xi}.$