题目
设随机变量X与Y均服从参数为dfrac (3)(4)的0-1分布，且dfrac (3)(4)，则dfrac (3)(4)______.
设随机变量X与Y均服从参数为
的0-1分布，且
，则
______.
题目解答
答案
依题意，
，
又由于
故
从而
所以
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故本题答案为：
解析
步骤 1：计算期望和方差
由于随机变量X和Y均服从参数为$\dfrac {3}{4}$的0-1分布，因此它们的期望和方差分别为：
$EX=EY=\dfrac {3}{4}$
$D(X)=D(Y)=\dfrac {3}{4}\times \dfrac {1}{4}=\dfrac {3}{16}$
步骤 2：计算协方差
根据方差的性质，我们有：
$D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)$
将已知的$D(X-Y)=\dfrac {1}{4}$代入，得到：
$\dfrac {1}{4}=\dfrac {3}{16}+\dfrac {3}{16}-2Cov(X,Y)$
解得：
$Cov(X,Y)=\dfrac {1}{2}[\dfrac {3}{16}+\dfrac {3}{16}+2\times \dfrac {3}{4}\times \dfrac {3}{4}-\dfrac {1}{4}]=\dfrac {5}{8}$
步骤 3：计算$P(X+Y\leqslant 1)$
由于$Cov(X,Y)=E(XY)-EXEY$，我们有：
$E(XY)=Cov(X,Y)+EXEY=\dfrac {5}{8}+\dfrac {3}{4}\times \dfrac {3}{4}=\dfrac {5}{8}+\dfrac {9}{16}=\dfrac {19}{16}$
因此，$P(X=1,Y=1)=P(XY=1)=E(XY)=\dfrac {5}{8}$
所以，$P(X+Y\leqslant 1)=1-P(X+Y>1)=1-P(X=1,Y=1)=1-\dfrac {5}{8}=\dfrac {3}{8}$
由于随机变量X和Y均服从参数为$\dfrac {3}{4}$的0-1分布，因此它们的期望和方差分别为：
$EX=EY=\dfrac {3}{4}$
$D(X)=D(Y)=\dfrac {3}{4}\times \dfrac {1}{4}=\dfrac {3}{16}$
步骤 2：计算协方差
根据方差的性质，我们有：
$D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)$
将已知的$D(X-Y)=\dfrac {1}{4}$代入，得到：
$\dfrac {1}{4}=\dfrac {3}{16}+\dfrac {3}{16}-2Cov(X,Y)$
解得：
$Cov(X,Y)=\dfrac {1}{2}[\dfrac {3}{16}+\dfrac {3}{16}+2\times \dfrac {3}{4}\times \dfrac {3}{4}-\dfrac {1}{4}]=\dfrac {5}{8}$
步骤 3：计算$P(X+Y\leqslant 1)$
由于$Cov(X,Y)=E(XY)-EXEY$，我们有：
$E(XY)=Cov(X,Y)+EXEY=\dfrac {5}{8}+\dfrac {3}{4}\times \dfrac {3}{4}=\dfrac {5}{8}+\dfrac {9}{16}=\dfrac {19}{16}$
因此，$P(X=1,Y=1)=P(XY=1)=E(XY)=\dfrac {5}{8}$
所以，$P(X+Y\leqslant 1)=1-P(X+Y>1)=1-P(X=1,Y=1)=1-\dfrac {5}{8}=\dfrac {3}{8}$