当t满足条件()时,实二次型 f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2-2x_1x_2+tx_2x_3 是正定二次型.A. -2sqrt(3)B. -4C. -sqrt(2)D. -2

本题考查实二次型正定的判定，解题思路是通过二次型的矩阵，利用其各阶顺序主子式都大于零来确定参数 $t$ 的取值范围。

步骤一：写出二次型的矩阵 $A$

对于实二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2 - 2x_1x_2+tx_2x_3$，其矩阵 $A$ 为：
\(A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & \frac{t}{2} \\ 0 & \frac{t}{2} & 3 \end{pmatrix}\)

步骤二：计算各阶顺序主子式

• 一阶顺序主子式：
  一阶顺序主子式就是矩阵 $A$ 的第一个元素，即 $\Delta_1 = 1>0$。
• 二阶顺序主子式：
  二阶顺序主子式为矩阵 $A$ 的左上角 $2\times2$ 子矩阵的行列式，即
  \(\Delta_2=\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}=1\times2 - (-1)\times(-1)=2 - 1 = 1>0\要求要求，这里不进行换行。\)
• 三阶顺序主子式：
  三阶顺序主子式为矩阵 $A$ 的行列式，即
  \(\Delta_3=\begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & \frac{t}{2} \\ 0 & \frac{t}{2} & 3 \end{vmatrix}\)
  根据三阶行列式的计算公式 \(\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}\)，可得：
  \(\Delta_3 = 1\times\begin{vmatrix} 2 & \frac{t}{2} \\ \frac{t}{2} & 3 \end{vmatrix}-(-1)\times\begin{vmatrix} -1 & \frac{t}{2} \\ 0 & 3 \end{vmatrix}+0\times\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 0 & \frac{t}{2} \end{vmatrix}\)
  $=1\times(2\times3 - \frac{t}{2}\times\frac{t}{2})+1\times((-1)\times3 - 0\times\frac{t}{2})+0$
  $=6-\frac{t^2}{4}-3=3-\frac{t^2}{4}$

步骤三：根据正定二次型的条件确定 $t$ 的取值范围

因为二次型 $f$ 是正定二次型，所以其各阶顺序主子式都大于零，即 $\Delta_3>0$，也就是：
$3-\frac{t^2}{4}>0$
移项可得：
$\frac{t^2}{4}<3$
两边同时乘以 $4$ 得：
$t^2<12$
解这个不等式，可得：
$-2\sqrt{3}