13.（4.0分）用克莱默法则解方程组{}2x+y-5z+w=8x-3y-6w=92y-z+2w=-5x+4y-7z+6w=0.，得到x=
题目解答
答案
-
系数矩阵与常数项
系数矩阵 $A$ 为：
$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -5 & 1 \\ 1 & -3 & 0 & -6 \\ 0 & 2 & -1 & 2 \\ 1 & 4 & -7 & 6 \end{pmatrix}$
常数项向量 $b$ 为：
$b = \begin{pmatrix} 8 \\ 9 \\ -5 \\ 0 \end{pmatrix}$ -
计算行列式 $D$
$D = \det(A) = 27$ -
计算 $D_1$
将 $A$ 的第一列替换为 $b$，得 $D_1$：
$D_1 = \begin{vmatrix} 8 & 1 & -5 & 1 \\ 9 & -3 & 0 & -6 \\ -5 & 2 & -1 & 2 \\ 0 & 4 & -7 & 6 \end{vmatrix} = 81$ -
求解 $x$
$x = \frac{D_1}{D} = \frac{81}{27} = 3$
答案： $\boxed{3}$
解析
考查要点：本题主要考查克莱默法则的应用，涉及四元一次方程组的求解，需要掌握行列式的计算及变量替换的方法。
解题核心思路：
- 构造系数矩阵和常数项向量；
- 计算系数矩阵的行列式$D$，判断方程组是否有唯一解；
- 通过替换对应列计算各变量的行列式$D_i$，最终通过比值求解变量。
破题关键点：
- 正确构造矩阵：确保系数矩阵的列对应变量$x,y,z,w$，常数项向量对应方程右边；
- 行列式计算：四阶行列式的展开需注意符号和计算顺序，可通过行变换简化计算；
- 替换列规则：求$x$时需将系数矩阵的第一列替换为常数项向量。
步骤1：构造系数矩阵和常数项向量
方程组的系数矩阵$A$为：
$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -5 & 1 \\ 1 & -3 & 0 & -6 \\ 0 & 2 & -1 & 2 \\ 1 & 4 & -7 & 6 \end{pmatrix}, \quad
b = \begin{pmatrix} 8 \\ 9 \\ -5 \\ 0 \end{pmatrix}$
步骤2：计算行列式$D$
通过展开或行变换计算$D = \det(A)$：
$D = 27$
步骤3：计算$D_1$（替换第一列为$b$）
将$A$的第一列替换为$b$，得：
$D_1 = \begin{vmatrix} 8 & 1 & -5 & 1 \\ 9 & -3 & 0 & -6 \\ -5 & 2 & -1 & 2 \\ 0 & 4 & -7 & 6 \end{vmatrix} = 81$
步骤4：求解$x$
根据克莱默法则：
$x = \frac{D_1}{D} = \frac{81}{27} = 3$