题目
12.不等式 ^2-16leqslant 0 的解集是 ()-|||-A. [ -4,4] B. [ 4,+infty ) C. (-infty ,-4] cup [ 4,+infty ) D. (-infty ,-4]
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查二次不等式的解法，需要学生掌握如何通过因式分解或求根来确定不等式的解集范围。
解题核心思路：
- 将不等式转化为等式，找到对应的根，确定临界点。
- 划分区间，根据根将数轴分成若干区间。
- 测试区间符号，判断每个区间内原不等式的符号，确定解集范围。
- 注意端点是否包含，根据不等式是否包含等号决定区间端点是否闭合。
破题关键点：
- 正确求根：解方程$x^2 - 16 = 0$，得到$x = \pm 4$。
- 区间符号判断：通过代入测试值确定每个区间内$x^2 - 16$的符号。
- 解集范围：原不等式要求$x^2 - 16 \leq 0$，即$x^2 \leq 16$，因此$x$的取值范围应在$-4$到$4$之间。
步骤1：求方程的根
解方程$x^2 - 16 = 0$，得：
$x^2 = 16 \implies x = \pm 4.$
因此，临界点为$x = -4$和$x = 4$。
步骤2：划分区间并测试符号
将数轴分为三个区间：
- $x < -4$：取测试值$x = -5$，代入原式得$(-5)^2 - 16 = 9 > 0$，不满足不等式。
- $-4 \leq x \leq 4$：取测试值$x = 0$，代入得$0^2 - 16 = -16 \leq 0$，满足不等式。
- $x > 4$：取测试值$x = 5$，代入得$5^2 - 16 = 9 > 0$，不满足不等式。
步骤3：确定解集范围
结合测试结果，满足$x^2 - 16 \leq 0$的区间为$[-4, 4]$，且端点$x = \pm 4$时等式成立，需包含在解集中。