题目
14、填空 若区域D为0le yle x^2,|x|le 2,则iintlimits_(D)xy^2dxdy=____.(3分)
14、填空 若区域D为0$\le y\le x^{2},|x|\le 2,$则
$\iint\limits_{D}xy^{2}dxdy=$____.
(3分)
题目解答
答案
区域 $D$ 关于 $y$-轴对称，被积函数 $xy^2$ 是关于 $x$ 的奇函数（因为 $(-x)y^2 = -xy^2$）。根据奇函数在对称区间上的积分性质，二重积分值为零。
具体计算如下：
\[
\iint\limits_{D} xy^2 \, dxdy = \int_{-2}^{2} \int_{0}^{x^2} xy^2 \, dy \, dx = \int_{-2}^{2} \frac{x^7}{3} \, dx = 0 \quad \text{(奇函数在对称区间积分为零)}
\]
答案：$\boxed{0}$
解析
考查要点：本题主要考查二重积分的对称性应用，特别是利用奇偶函数在对称区域上的积分性质简化计算。
解题核心思路：
- 识别积分区域的对称性：区域$D$关于$y$-轴对称，因为$x$的范围是$[-2, 2]$，而$y$的范围$0 \le y \le x^2$与$x$的正负无关。
- 分析被积函数的奇偶性：被积函数$xy^2$是关于$x$的奇函数（将$x$替换为$-x$后符号改变）。
- 应用对称性积分性质：奇函数在对称区间上的积分结果为零，从而直接得出二重积分的值为$0$。
步骤1：分析积分区域对称性
区域$D$由$|x| \le 2$和$0 \le y \le x^2$确定，其关于$y$-轴对称。对于任意点$(x, y)$，其关于$y$-轴的对称点$(-x, y)$也在$D$中。
步骤2：判断被积函数的奇偶性
被积函数$xy^2$中，若将$x$替换为$-x$，则函数值变为$(-x)y^2 = -xy^2$，说明它是关于$x$的奇函数。
步骤3：应用对称性积分性质
根据定积分性质，奇函数在对称区间$[-a, a]$上的积分结果为零。因此，二重积分可直接得出：
$\iint\limits_{D} xy^2 \, dxdy = 0$