将函数展成x的幂级数，下列错误的是(） A. (e^x - e^-x)/(2) = (1)/(2) sum_(n=0)^infty (1 - (-1)^n)/(n!) x^n = sum_(n=1)^infty (x^2n-1)/((2n-1)!), x in (-infty, +infty)B. (1+x)ln (1+x)= x + sum_(n=2)^infty ((-1)^n x^n)/(n(n-1)), x in [-1, 1]C. ln (1+x)= sum_(n=1)^infty ((-1)^n-1)/(n) x^n, x in (-1, +1]D. a^x = e^x ln a = sum_(n=1)^infty ((x ln a)^n)/(n!) = sum_(n=1)^infty ((ln a)^n)/(n!) x^n, x in (-infty, +infty)

本题主要考查常见函数的幂级数展开式以及幂级数展开的相关知识。解题思路是分别对每个选项中的函数幂级数展开式进行推导和验证，判断其正确性。

选项A

已知指数函数$e^x$的幂级数展开式为$e^x=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$，$x\in(-\infty,+\infty)$。
将$x$替换为$-x$，可得$e^{-x}=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(-x)^n}{n!}=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^n}{n!}$，$x\in(-\infty,+\infty)$。
那么$\frac{e^x - e^{-x}}{2}=\frac{1}{2}\left(\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}-\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^n}{n!}\right)=\frac{1}{2}\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{1 - (-1)^n}{n!}x^n$。
当$n$为偶数时，$1 - (-1)^n = 0$；当$n$为奇数时，设$n = 2k - 1$，$k\in N^+$，则$\frac{1}{2}\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{1 - (-1)^n}{n!}x^n=\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{x^{2k - 1}}{(2k - 1)!}$，$x\in(-\infty,+\infty)$，所以选项A正确。

选项B

已知$\ln(1 + x)$的幂级数展开式为$\ln(1 + x)=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n - 1}}{n}x^n$，$x\in(-1,1]$。
则$(1 + x)\ln(1 + x)=\ln(1 + x)+x\ln(1 + x)$
$=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n - 1}}{n}x^n+x\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n - 1}}{n}x^n$
$=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n - 1}}{n}x^n+\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n - 1}}{n}x^{n + 1}$
对于$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n - 1}}{n}x^{n + 1}$，令$m=n + 1$，则$n=m - 1$，$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n - 1}}{n}x^{n + 1}=\sum_{m = 2}^{\infty}\frac{(-1)^{m - 2}}{m - 1}x^{m}=\sum_{m = 2}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{m - 1}x^{m}$。
$(1 + x)\ln(1 + x)=x+\sum_{n = 2}^{\infty}\frac{(-1)^{n - 1}}{n}x^n+\sum_{n = 2}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n - 1}x^n$
$=x+\sum_{n = 2}^{\infty}\frac{(-1)^{n - 1}(n - 1)+(-1)^{n}n}{n(n - 1)}x^n$
$=x+\sum_{n = 2}^{\infty}\frac{(-1)^{n - 1}n-(-1)^{n - 1}+(-1)^{n}n}{n(n - 1)}x^n$
$=x+\sum_{n = 2}^{\infty}\frac{(-1)^{n - 1}n+(-1)^{n}n-(-1)^{n - 1}}{n(n - 1)}x^n$
$=x+\sum_{n = 2}^{\infty}\frac{(-1)^{n - 1}(n - n)-(-1)^{n - 1}}{n(n - 1)}x^n=x+\sum_{n = 2}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^n}{n(n - 1)}$，$x\in[-1,1]$，所以选项B正确。

选项C

根据幂级数展开的知识，$\ln(1 + x)$的幂级数展开式为$\ln(1 + x)=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n - 1}}{n}x^n$，其收敛半径$R = 1$。
当$x = 1$时，$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n - 1}}{n}$是交错级数，由莱布尼茨判别法可知其收敛；当$x=-1$时，$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n - 1}}{n}(-1)^n=-\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$发散，所以收敛域为$(-1,1]$，选项C正确。

选项D

因为$a^x = e^{x\ln a}$，而$e^t=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{t^n}{n!}$，令$t = x\ln a$，则$a^x = e^{x\ln a}=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(x\ln a)^n}{n!}=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(\ln a)^n}{n!}x^n$，$x\in(-\infty,+\infty)$，但选项中从$n = 1$开始，缺少$n = 0$这一项，所以选项D错误。