lim _(n arrow infty) sqrt(n)(sqrt(n+1)-sqrt(n-2))= ____

我们来求解这个极限：

$\lim_{n \to \infty} \sqrt{n}(\sqrt{n+1} - \sqrt{n-2})$

第一步：分析结构

这个极限是 $ \infty \cdot 0 $ 型的不定式，因为：

• $ \sqrt{n} \to \infty $
• $ \sqrt{n+1} - \sqrt{n-2} \to 0 $

所以我们需要对表达式进行变形，消除不定式。

第二步：对根号差进行有理化

我们考虑对 $ \sqrt{n+1} - \sqrt{n-2} $ 进行有理化处理。

利用公式：
$\sqrt{a} - \sqrt{b} = \frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$

所以：
$\sqrt{n+1} - \sqrt{n-2} = \frac{(n+1) - (n-2)}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n-2}} = \frac{3}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n-2}}$

代入原式：
$\sqrt{n}(\sqrt{n+1} - \sqrt{n-2}) = \sqrt{n} \cdot \frac{3}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n-2}}$

即：
$\lim_{n \to \infty} \frac{3\sqrt{n}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n-2}}$

第三步：提取主阶，化简

我们对分母进行近似。当 $ n \to \infty $ 时，$ \sqrt{n+1} \approx \sqrt{n} $，$ \sqrt{n-2} \approx \sqrt{n} $，所以分母大约是 $ \sqrt{n} + \sqrt{n} = 2\sqrt{n} $。

为了更精确，我们可以提取 $ \sqrt{n} $：

分子：$ 3\sqrt{n} $

分母：
$\sqrt{n+1} + \sqrt{n-2} = \sqrt{n}\left( \sqrt{1 + \frac{1}{n}} + \sqrt{1 - \frac{2}{n}} \right)$

所以整个表达式变为：
$\frac{3\sqrt{n}}{\sqrt{n}\left( \sqrt{1 + \frac{1}{n}} + \sqrt{1 - \frac{2}{n}} \right)} = \frac{3}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + \sqrt{1 - \frac{2}{n}}}$

第四步：取极限

当 $ n \to \infty $ 时：

• $ \frac{1}{n} \to 0 $，所以 $ \sqrt{1 + \frac{1}{n}} \to 1 $
• $ \frac{2}{n} \to 0 $，所以 $ \sqrt{1 - \frac{2}{n}} \to 1 $

因此分母趋于 $ 1 + 1 = 2 $，整个表达式趋于：
$\frac{3}{2}$

最终答案：

$\boxed{\frac{3}{2}}$