lim _(n arrow infty) sqrt(n)(sqrt(n+1)-sqrt(n-2))= ____
$\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n-2})=$ ____
题目解答
答案
我们来求解这个极限：
$\lim_{n \to \infty} \sqrt{n}(\sqrt{n+1} - \sqrt{n-2})$
第一步：分析结构
这个极限是 $ \infty \cdot 0 $ 型的不定式，因为：
- $ \sqrt{n} \to \infty $
- $ \sqrt{n+1} - \sqrt{n-2} \to 0 $
所以我们需要对表达式进行变形，消除不定式。
第二步：对根号差进行有理化
我们考虑对 $ \sqrt{n+1} - \sqrt{n-2} $ 进行有理化处理。
利用公式：
$\sqrt{a} - \sqrt{b} = \frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$
所以：
$\sqrt{n+1} - \sqrt{n-2} = \frac{(n+1) - (n-2)}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n-2}} = \frac{3}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n-2}}$
代入原式：
$\sqrt{n}(\sqrt{n+1} - \sqrt{n-2}) = \sqrt{n} \cdot \frac{3}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n-2}}$
即：
$\lim_{n \to \infty} \frac{3\sqrt{n}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n-2}}$
第三步：提取主阶，化简
我们对分母进行近似。当 $ n \to \infty $ 时，$ \sqrt{n+1} \approx \sqrt{n} $，$ \sqrt{n-2} \approx \sqrt{n} $，所以分母大约是 $ \sqrt{n} + \sqrt{n} = 2\sqrt{n} $。
为了更精确，我们可以提取 $ \sqrt{n} $：
分子：$ 3\sqrt{n} $
分母：
$\sqrt{n+1} + \sqrt{n-2} = \sqrt{n}\left( \sqrt{1 + \frac{1}{n}} + \sqrt{1 - \frac{2}{n}} \right)$
所以整个表达式变为：
$\frac{3\sqrt{n}}{\sqrt{n}\left( \sqrt{1 + \frac{1}{n}} + \sqrt{1 - \frac{2}{n}} \right)} = \frac{3}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + \sqrt{1 - \frac{2}{n}}}$
第四步：取极限
当 $ n \to \infty $ 时：
- $ \frac{1}{n} \to 0 $，所以 $ \sqrt{1 + \frac{1}{n}} \to 1 $
- $ \frac{2}{n} \to 0 $，所以 $ \sqrt{1 - \frac{2}{n}} \to 1 $
因此分母趋于 $ 1 + 1 = 2 $，整个表达式趋于：
$\frac{3}{2}$
最终答案：
$\boxed{\frac{3}{2}}$
解析
本题考查数列极限的计算，解题的关键在于处理 $\infty \cdot 0$ 型的不定式，通过对根式差进行有理化，然后提取主阶化简式子，最后求出极限。
- 分析极限类型：
- 当 $n \to \infty$ 时，$\sqrt{n} \to \infty$，而 $\sqrt{n + 1}-\sqrt{n - 2}=\frac{(n + 1)-(n - 2)}{\sqrt{n + 1}+\sqrt{n - 2}}=\frac{3}{\sqrt{n + 1}+\sqrt{n - 2}}$，分母 $\sqrt{n + 1}+\sqrt{n - 2} \to \infty$，所以 $\sqrt{n + 1}-\sqrt{n - 2} \to 0$，此极限为 $\infty \cdot 0$ 型不定式。
- 对根式差进行有理化：
- 根据平方差公式 $(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a - b$，对于 $\sqrt{n + 1}-\sqrt{n - 2}$，有 $\sqrt{n + 1}-\sqrt{n - 2}=\frac{(\sqrt{n + 1}-\sqrt{n - 2})(\sqrt{n + 1}+\sqrt{n - 2})}{\sqrt{n + 1}+\sqrt{n - 2}}$。
- 分子 $(\sqrt{n + 1}-\sqrt{n - 2})(\sqrt{n + 1}+\sqrt{n - 2})=(n + 1)-(n - 2)=n + 1 - n+2 = 3$，所以 $\sqrt{n + 1}-\sqrt{n - 2}=\frac{3}{\sqrt{n + 1}+\sqrt{n - 2}}$。
- 则原式 $\sqrt{n}(\sqrt{n + 1}-\sqrt{n - 2})$ 变为 $\sqrt{n}\cdot\frac{3}{\sqrt{n + 1}+\sqrt{n - 2}}$，即求 $\lim_{n \to \infty}\frac{3\sqrt{n}}{\sqrt{n + 1}+\sqrt{n - 2}}$。
- 提取主阶化简式子：
- 对分母提取 $\sqrt{n}$，$\sqrt{n + 1}+\sqrt{n - 2}=\sqrt{n}\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1-\frac{2}{n}}\right)$。
- 那么 $\frac{3\sqrt{n}}{\sqrt{n + 1}+\sqrt{n - 2}}=\frac{3\sqrt{n}}{\sqrt{n}\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1-\frac{2}{n}}\right)}$，分子分母约去 $\sqrt{n}$，得到 $\frac{3}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1-\frac{2}{n}}}$。
- 求极限：
- 当 $n \to \infty$ 时，根据极限运算法则，$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}=0$，$\lim_{n \to \infty}\frac{2}{n}=0$。
- 所以 $\lim_{n \to \infty}\sqrt{1+\frac{1}{n}}=\sqrt{\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})}=\sqrt{1 + 0}=1$，$\lim_{n \to \infty}\sqrt{1-\frac{2}{n}}=\sqrt{\lim_{n \to \infty}(1-\frac{2}{n})}=\sqrt{1-0}=1$。
- 则 $\lim_{n \to \infty}\frac{3}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1-\frac{2}{n}}}=\frac{3}{1 + 1}=\frac{3}{2}$。