36. 设函数f(x)={2 x^2, & x leq 1 3 x-1, & x>1.，则f(x)在点x=1处（）。A. 不连续B. 连续但左、右导数不存在C. 连续但不可导D. 可导

考查要点：本题主要考查分段函数在分段点处的连续性和可导性判断。

解题核心思路：

1. 连续性：需验证左极限、右极限与函数值是否相等。
2. 可导性：需分别计算左导数和右导数，判断两者是否相等。

破题关键点：

• 连续性分析：直接代入分段点两侧的表达式计算极限，并与函数值比较。
• 可导性分析：分别用定义法计算左导数和右导数，若两者存在但不相等，则函数在该点不可导。

连续性分析

1. 左极限：当$x \to 1^-$时，$f(x) = 2x^2$，故$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2 \cdot 1^2 = 2$。
2. 右极限：当$x \to 1^+$时，$f(x) = 3x - 1$，故$\lim_{x \to 1^+} f(x) = 3 \cdot 1 - 1 = 2$。
3. 函数值：$f(1) = 2 \cdot 1^2 = 2$。

结论：左极限、右极限与函数值均为$2$，故$f(x)$在$x=1$处连续。

可导性分析

1. 左导数：
   当$h \to 0^-$时，$x = 1 + h \leq 1$，故$f(1 + h) = 2(1 + h)^2$。
   左导数为：
   $f'_-(1) = \lim_{h \to 0^-} \frac{2(1+h)^2 - 2}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{4h + 2h^2}{h} = \lim_{h \to 0^-} (4 + 2h) = 4.$

2. 右导数：
   当$h \to 0^+$时，$x = 1 + h > 1$，故$f(1 + h) = 3(1 + h) - 1 = 2 + 3h$。
   右导数为：
   $f'_+(1) = \lim_{h \to 0^+} \frac{(2 + 3h) - 2}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{3h}{h} = 3.$

结论：左导数$f'_-(1) = 4$，右导数$f'_+(1) = 3$，两者不相等，故$f(x)$在$x=1$处不可导。