直线 (x-1)/(-1) = (y-1)/(0) = (z-1)/(1) 与平面 2x + y - z + 4 = 0 的夹角为()A. (pi)/(6);B. (pi)/(3);C. (pi)/(4);D. (pi)/(2).

本题考查直线与平面夹角的计算，核心思路是利用直线的方向向量与平面法向量的关系。关键点在于：

1. 确定直线的方向向量和平面的法向量；
2. 通过向量点积公式计算两向量夹角的余弦值；
3. 利用三角函数关系将直线与平面的夹角转化为上述角度的余角。

步骤1：确定方向向量与法向量

• 直线方向向量：由直线方程 $\frac{x-1}{-1} = \frac{y-1}{0} = \frac{z-1}{1}$，方向向量为 $\mathbf{s} = (-1, 0, 1)$。
• 平面法向量：由平面方程 $2x + y - z + 4 = 0$，法向量为 $\mathbf{n} = (2, 1, -1)$。

步骤2：计算点积与模长

• 点积：$\mathbf{s} \cdot \mathbf{n} = (-1) \times 2 + 0 \times 1 + 1 \times (-1) = -3$，绝对值为 $3$。
• 模长：
  • $|\mathbf{s}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$，
  • $|\mathbf{n}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}$。

步骤3：计算夹角的正弦值

直线与平面夹角 $\theta$ 的正弦值为：
$\sin\theta = \frac{|\mathbf{s} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{s}| \cdot |\mathbf{n}|} = \frac{3}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$

步骤4：求角度

由 $\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$，得 $\theta = \frac{\pi}{3}$。