题目
设1-|||-√(1+x^2)是1-|||-√(1+x^2)的一个原函数，求1-|||-√(1+x^2).
设
是
的一个原函数，求
.
题目解答
答案
分部积分公式为
。因为是的一个原函数，故
，使用分部积分可得
，而对于
，令
，则
，
，所以答案为
，其中
为任意常数。
解析
步骤 1：确定原函数
已知$\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$是$f(x)$的一个原函数，即$\int f(x)dx = \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$。
步骤 2：应用分部积分法
根据分部积分公式$\int u dv = uv - \int v du$，令$u = \dfrac{1}{x}$，$dv = f(x)dx$，则$du = -\dfrac{1}{x^2}dx$，$v = \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$。
步骤 3：计算积分
$\int \dfrac{f(x)}{x}dx = \int \dfrac{1}{x}d(\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}) = \dfrac{1}{x\sqrt{1+x^2}} - \int \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}d(\dfrac{1}{x})$。
步骤 4：进一步计算
$\int \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}d(\dfrac{1}{x}) = \int \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}(-\dfrac{1}{x^2})dx$，令$t = \dfrac{1}{x}$，则$dt = -\dfrac{1}{x^2}dx$，所以$\int \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}(-\dfrac{1}{x^2})dx = \int \dfrac{t}{\sqrt{1+t^2}}dt$。
步骤 5：求解积分
$\int \dfrac{t}{\sqrt{1+t^2}}dt = \dfrac{(1+t^2)^{\frac{3}{2}}}{3} + C = \dfrac{(1+\dfrac{1}{x^2})^{\frac{3}{2}}}{3} + C = \dfrac{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}{3x^3} + C$。
已知$\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$是$f(x)$的一个原函数，即$\int f(x)dx = \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$。
步骤 2：应用分部积分法
根据分部积分公式$\int u dv = uv - \int v du$，令$u = \dfrac{1}{x}$，$dv = f(x)dx$，则$du = -\dfrac{1}{x^2}dx$，$v = \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$。
步骤 3：计算积分
$\int \dfrac{f(x)}{x}dx = \int \dfrac{1}{x}d(\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}) = \dfrac{1}{x\sqrt{1+x^2}} - \int \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}d(\dfrac{1}{x})$。
步骤 4：进一步计算
$\int \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}d(\dfrac{1}{x}) = \int \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}(-\dfrac{1}{x^2})dx$，令$t = \dfrac{1}{x}$，则$dt = -\dfrac{1}{x^2}dx$，所以$\int \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}(-\dfrac{1}{x^2})dx = \int \dfrac{t}{\sqrt{1+t^2}}dt$。
步骤 5：求解积分
$\int \dfrac{t}{\sqrt{1+t^2}}dt = \dfrac{(1+t^2)^{\frac{3}{2}}}{3} + C = \dfrac{(1+\dfrac{1}{x^2})^{\frac{3}{2}}}{3} + C = \dfrac{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}{3x^3} + C$。