题目
真空中一半径为 R 的球面均匀带电 Q，在球心 o 处有一带电量为 q 的点电荷，设无穷远处为电势零点，则在球内离球心 o 距离的 r 的 P 点处的电势为（ ）。
真空中一半径为 R 的球面均匀带电 Q，在球心 o 处有一带电量为 q 的点电荷，设无穷远处为电势零点，则在球内离球心 o 距离的 r 的 P 点处的电势为（ ）。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定球面电荷的电势
球面均匀带电 Q，根据高斯定理，球面内部的电场为零，因此球面内部的电势为常数。在球心处，球面的电势为 $\dfrac {1}{4\pi {\varepsilon }_{0}}\dfrac {Q}{R}$，因为球面内部电势处处相等，所以球内任意点的电势都为 $\dfrac {1}{4\pi {\varepsilon }_{0}}\dfrac {Q}{R}$。
步骤 2：确定点电荷的电势
点电荷 q 在球心 o 处，根据点电荷的电势公式，点电荷在距离 r 处的电势为 $\dfrac {1}{4\pi {\varepsilon }_{0}}\dfrac {q}{r}$。
步骤 3：计算总电势
球内 P 点处的总电势为球面电荷和点电荷电势的叠加，即 $\dfrac {1}{4\pi {\varepsilon }_{0}}\dfrac {Q}{R} + \dfrac {1}{4\pi {\varepsilon }_{0}}\dfrac {q}{r}$。
球面均匀带电 Q，根据高斯定理，球面内部的电场为零，因此球面内部的电势为常数。在球心处，球面的电势为 $\dfrac {1}{4\pi {\varepsilon }_{0}}\dfrac {Q}{R}$，因为球面内部电势处处相等，所以球内任意点的电势都为 $\dfrac {1}{4\pi {\varepsilon }_{0}}\dfrac {Q}{R}$。
步骤 2：确定点电荷的电势
点电荷 q 在球心 o 处，根据点电荷的电势公式，点电荷在距离 r 处的电势为 $\dfrac {1}{4\pi {\varepsilon }_{0}}\dfrac {q}{r}$。
步骤 3：计算总电势
球内 P 点处的总电势为球面电荷和点电荷电势的叠加，即 $\dfrac {1}{4\pi {\varepsilon }_{0}}\dfrac {Q}{R} + \dfrac {1}{4\pi {\varepsilon }_{0}}\dfrac {q}{r}$。