题目

方程x^2-(y^2)/(4)-(z^2)/(9)=1表示以x轴为中心轴的双叶双曲面( ).√×

方程$x^{2}-\frac{y^{2}}{4}-\frac{z^{2}}{9}=1$表示以x轴为中心轴的双叶双曲面( ). √ ×

题目解答

答案

双叶双曲面的标准形式为 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1$，等号右边为-1。给定方程 $x^2 - \frac{y^2}{4} - \frac{z^2}{9} = 1$ 等号右边为1，符合单叶双曲面的特征。此外，方程中 $x^2$ 项为正，$y^2$ 和 $z^2$ 项为负，表示在 $x$ 轴方向开口，但非双叶双曲面。答案：$\boxed{\times}$

解析

本题考查二次曲面的标准方程及双叶双曲面的特征。解题思路是先明确双叶双曲面的标准方程形式，再将给定方程与之对比，判断其是否为双叶双曲面。

首先明确双叶双曲面的标准方程：
- 双叶双曲面的标准方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=-1$（以$x$轴为中心轴），其中$a,b,c\gt0$，等号右边为$-1$。
然后分析给定方程：
- 给定方程为$x^{2}-\frac{y^{2}}{4}-\frac{z^{2}}{9}=1$，可变形为$\frac{x^{2}}{1^{2}}-\frac{y^{2}}{2^{2}}-\frac{z^{2}}{3^{2}} = 1$，此方程等号右边为$1$。
- 而单叶双曲面的标准方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$（以$x$轴为中心轴），所以给定方程符合单叶双曲面的特征。
- 虽然方程中$x^{2}$项为正，$y^{2}$和$z^{2}$项为负，表示在$x$轴方向开口，但由于等号右边是$1$，并非双叶双曲面。