题目
(2023年第14题)极限lim_(xto3)(x)/(x-3)int_(3)^x(sin t)/(t)dt=____.
(2023年第14题)极限$\lim_{x\to3}\frac{x}{x-3}\int_{3}^{x}\frac{\sin t}{t}dt=$____.
题目解答
答案
将原极限重写为：
\[
\lim_{x \to 3} \frac{x \int_{3}^{x} \frac{\sin t}{t} \, dt}{x-3}
\]
应用洛必达法则，分子求导得：
\[
\int_{3}^{x} \frac{\sin t}{t} \, dt + \sin x
\]
分母求导得1，故极限变为：
\[
\lim_{x \to 3} \left( \int_{3}^{x} \frac{\sin t}{t} \, dt + \sin x \right) = \sin 3
\]
或拆分为：
\[
\lim_{x \to 3} x \cdot \lim_{x \to 3} \frac{\int_{3}^{x} \frac{\sin t}{t} \, dt}{x-3}
\]
后一个极限由洛必达法则得：
\[
\lim_{x \to 3} \frac{\sin x}{x} = \frac{\sin 3}{3}
\]
故原极限为：
\[
3 \cdot \frac{\sin 3}{3} = \sin 3
\]
**答案：** $\boxed{\sin 3}$
解析
考查要点：本题主要考查洛必达法则的应用，以及积分上限函数的求导。关键在于识别出当$x \to 3$时，分子和分母均趋近于0，形成$\frac{0}{0}$型不定式，从而应用洛必达法则。
解题思路：
- 观察极限形式：将原式改写为$\frac{x \cdot \int_{3}^{x} \frac{\sin t}{t} dt}{x-3}$，发现当$x \to 3$时，分子和分母均趋近于0。
- 应用洛必达法则：对分子和分母分别求导，化简后直接代入$x=3$计算。
- 拆分法验证：将原式拆分为$x \cdot \frac{\int_{3}^{x} \frac{\sin t}{t} dt}{x-3}$，分别求极限，再次应用洛必达法则验证结果一致性。
方法一：直接应用洛必达法则
-
改写原式：
$\lim_{x \to 3} \frac{x \int_{3}^{x} \frac{\sin t}{t} dt}{x-3}$
当$x \to 3$时，分子$x \int_{3}^{x} \frac{\sin t}{t} dt \to 0$，分母$x-3 \to 0$，属于$\frac{0}{0}$型不定式。 -
求导分子和分母：
- 分子导数：
根据乘积法则，分子为$x \cdot \int_{3}^{x} \frac{\sin t}{t} dt$，其导数为：
$\frac{d}{dx} \left( x \cdot \int_{3}^{x} \frac{\sin t}{t} dt \right) = \int_{3}^{x} \frac{\sin t}{t} dt + x \cdot \frac{\sin x}{x} = \int_{3}^{x} \frac{\sin t}{t} dt + \sin x$ - 分母导数：
$\frac{d}{dx}(x-3) = 1$
- 分子导数：
-
代入洛必达法则：
$\lim_{x \to 3} \left( \int_{3}^{x} \frac{\sin t}{t} dt + \sin x \right)$
当$x=3$时，$\int_{3}^{3} \frac{\sin t}{t} dt = 0$，因此极限值为$\sin 3$。
方法二：拆分法验证
-
拆分原式：
$\lim_{x \to 3} x \cdot \lim_{x \to 3} \frac{\int_{3}^{x} \frac{\sin t}{t} dt}{x-3}$
其中$\lim_{x \to 3} x = 3$。 -
处理积分部分：
对$\frac{\int_{3}^{x} \frac{\sin t}{t} dt}{x-3}$应用洛必达法则：
$\lim_{x \to 3} \frac{\frac{\sin x}{x}}{1} = \frac{\sin 3}{3}$ -
合并结果：
$3 \cdot \frac{\sin 3}{3} = \sin 3$