题目

8 填空(10分)若beta=(1,2,t)^T可由向量组alpha_(1)=(2,1,1)^T,alpha_(2)=(-1,2,7)^T,alpha_(3)=(1,-1,-4)^T线性表示，则t=（）.

8 填空(10分)若$\beta=(1,2,t)^{T}$可由向量组 $\alpha_{1}=(2,1,1)^{T},\alpha_{2}=(-1,2,7)^{T},\alpha_{3}=(1,-1,-4)^{T}$线性表示，则t=（）.

题目解答

答案

将向量 $\beta = (1, 2, t)^T$ 表示为向量组 $\alpha_1 = (2, 1, 1)^T$，$\alpha_2 = (-1, 2, 7)^T$，$\alpha_3 = (1, -1, -4)^T$ 的线性组合，即求解方程组 $x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + x_3\alpha_3 = \beta$。 增广矩阵为： \[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 & 2 \\ 1 & 7 & -4 & t \\ \end{array} \right] \] 化简得： \[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2 \\ 0 & -5 & 3 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & t-5 \\ \end{array} \right] \] 为使方程组有解，增广矩阵的秩应等于系数矩阵的秩，即 $t-5=0$。 解得： \[ \boxed{5} \]

解析

考查要点：本题主要考查向量组的线性表示条件，即非齐次线性方程组有解的判定条件。
解题思路：将向量$\beta$表示为$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$的线性组合，转化为求解线性方程组$X\alpha = \beta$。通过构造增广矩阵并进行行变换，判断方程组何时有解。
关键点：增广矩阵的秩必须等于系数矩阵的秩，即最后一行化简后出现$0=kt$时，$kt$必须为0。

设$\beta = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3$，构造增广矩阵：
$\left[\begin{array}{ccc|c}2 & -1 & 1 & 1 \\1 & 2 & -1 & 2 \\1 & 7 & -4 & t\end{array}\right]$

行变换过程：

  1. 交换第一、二行，使首元素为1：
    $\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & 7 & -4 & t \end{array}\right]$

  2. 消去第二、三行的第一个元素：

    • 第二行减$2 \times$第一行：
      $[2-2, -1-4, 1+2, 1-4] = [0, -5, 3, -3]$
    • 第三行减$1 \times$第一行：
      $[1-1, 7-2, -4+1, t-2] = [0, 5, -3, t-2]$

    矩阵变为：
    $\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2 \\ 0 & -5 & 3 & -3 \\ 0 & 5 & -3 & t-2 \end{array}\right]$

  3. 消去第三行的第二个元素：
    第三行加第二行：
    $[0+0, 5-5, -3+3, t-2-3] = [0, 0, 0, t-5]$

    最终增广矩阵：
    $\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2 \\ 0 & -5 & 3 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & t-5 \end{array}\right]$

方程组有解条件：最后一行$0 = t-5$，即$t=5$。