题目
(7)D_(n)=|}1+a_(1)&1&...&11&1+a_(2)&...&1vdots&vdots&...&vdots1&1&...&1+a_(n)neq0.
(7)$D_{n}=\left|\begin{matrix}1+a_{1}&1&\cdots&1\\1&1+a_{2}&\cdots&1\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\1&1&\cdots&1+a_{n}\end{matrix}\right|$,其中$a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\neq0$.
题目解答
答案
将原矩阵的第2至第n行减去第1行，得到：
$$
\begin{vmatrix}
1+a_1 & 1 & \cdots & 1 \\
-a_1 & a_2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
-a_1 & 0 & \cdots & a_n
\end{vmatrix}
$$
按第一行展开，得：
$$
(1+a_1)A_{11} - A_{12} + A_{13} - \cdots + (-1)^{n+1}A_{1n}
$$
其中，$A_{1i}$为代数余子式。计算得：
$$
A_{11} = a_2a_3\cdots a_n, \quad A_{1i} = a_1 \cdot \frac{a_2a_3\cdots a_n}{a_i} \quad (i=2,3,\ldots,n)
$$
代入并提取公因子，得：
$$
D_n = a_1a_2\cdots a_n \left[ \frac{1+a_1}{a_1} - \sum_{i=2}^n \frac{1}{a_i} \right] = a_1a_2\cdots a_n \left[ 1 + \sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i} \right]
$$
**答案：**
$$
\boxed{a_1a_2\cdots a_n \left( 1 + \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n} \right)}
$$
解析
考查要点：本题主要考查行列式的计算技巧，特别是利用行变换简化行列式，以及代数余子式展开法的应用。
解题核心思路：
- 行变换简化矩阵：通过将第2至第n行减去第1行，将原矩阵转化为上三角矩阵与对角矩阵的组合形式，从而简化行列式的计算。
- 代数余子式展开：按第一行展开行列式，利用代数余子式的性质，结合对角矩阵的行列式特性，快速计算各余子式的值。
- 代数化简：将展开后的表达式合并，提取公因子，最终得到简洁的表达式。
破题关键点：
- 行变换的选择：通过减法操作创造零元素，降低计算复杂度。
- 代数余子式的规律：观察余子式结构，发现其与对角元素乘积的关系，避免逐项计算。
- 公因子提取：通过代数变形，将表达式转化为对称形式，体现对称性。
行变换简化矩阵
将原矩阵的第2至第n行减去第1行，得到新矩阵：
$\begin{vmatrix} 1+a_1 & 1 & \cdots & 1 \\ -a_1 & a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_1 & 0 & \cdots & a_n \end{vmatrix}$
按第一行展开行列式
行列式展开式为：
$(1+a_1)A_{11} - A_{12} + A_{13} - \cdots + (-1)^{n+1}A_{1n}$
计算代数余子式
- $A_{11}$：去掉第一行第一列后，剩余部分为对角矩阵，行列式为 $a_2a_3\cdots a_n$。
- $A_{1i} \ (i=2,3,\ldots,n)$：去掉第一行第i列后，剩余矩阵的第一列全为$-a_1$，其他列对角线为$a_2, \ldots, \hat{a_i}, \ldots, a_n$。通过行列式展开或观察对角性，可得：
$A_{1i} = a_1 \cdot \frac{a_2a_3\cdots a_n}{a_i}$
代入并化简
将代数余子式代入展开式：
$D_n = (1+a_1)a_2a_3\cdots a_n - \sum_{i=2}^n \left( a_1 \cdot \frac{a_2a_3\cdots a_n}{a_i} \right)$
提取公因子 $a_1a_2\cdots a_n$：
$D_n = a_1a_2\cdots a_n \left[ \frac{1+a_1}{a_1} - \sum_{i=2}^n \frac{1}{a_i} \right]$
进一步整理得：
$D_n = a_1a_2\cdots a_n \left( 1 + \sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i} \right)$