题目
设曲线x^2y+ay^2=b上有点(1，1)且在该点处的切线方程为4x+3y=7，求a，b的值。
设曲线$$x^2y+ay^2=b$$上有点$$(1，1)$$且在该点处的切线方程为$$4x+3y=7$$，求$$a，b$$的值。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定曲线上的点
曲线$$x^2y+ay^2=b$$上有点$$(1，1)$$，代入点$$(1，1)$$，得到$$1^2\cdot1+a\cdot1^2=b$$，即$$1+a=b$$。
步骤 2：求导数
对曲线方程$$x^2y+ay^2=b$$两边对$$x$$求导，得到$$2xy+x^2y'+2ayy'=0$$。将点$$(1，1)$$代入，得到$$2\cdot1\cdot1+1^2y'+2a\cdot1\cdot y'=0$$，即$$2+y'+2ay'=0$$。
步骤 3：利用切线方程求导数
切线方程为$$4x+3y=7$$，可以改写为$$y=-\frac{4}{3}x+\frac{7}{3}$$，所以切线的斜率为$$-\frac{4}{3}$$，即$$y'=-\frac{4}{3}$$。将$$y'=-\frac{4}{3}$$代入步骤2得到的方程，得到$$2-\frac{4}{3}+2a\cdot(-\frac{4}{3})=0$$，解得$$a=\frac{1}{4}$$。
步骤 4：求$$b$$的值
将$$a=\frac{1}{4}$$代入步骤1得到的方程$$1+a=b$$，得到$$b=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$。
曲线$$x^2y+ay^2=b$$上有点$$(1，1)$$，代入点$$(1，1)$$，得到$$1^2\cdot1+a\cdot1^2=b$$，即$$1+a=b$$。
步骤 2：求导数
对曲线方程$$x^2y+ay^2=b$$两边对$$x$$求导，得到$$2xy+x^2y'+2ayy'=0$$。将点$$(1，1)$$代入，得到$$2\cdot1\cdot1+1^2y'+2a\cdot1\cdot y'=0$$，即$$2+y'+2ay'=0$$。
步骤 3：利用切线方程求导数
切线方程为$$4x+3y=7$$，可以改写为$$y=-\frac{4}{3}x+\frac{7}{3}$$，所以切线的斜率为$$-\frac{4}{3}$$，即$$y'=-\frac{4}{3}$$。将$$y'=-\frac{4}{3}$$代入步骤2得到的方程，得到$$2-\frac{4}{3}+2a\cdot(-\frac{4}{3})=0$$，解得$$a=\frac{1}{4}$$。
步骤 4：求$$b$$的值
将$$a=\frac{1}{4}$$代入步骤1得到的方程$$1+a=b$$，得到$$b=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$。