题目

13.某出版社对读者的阅读习惯进行调查,设A表示喜欢艺术类,B表示喜欢文学类,C表示-|||-喜欢科技类,各事件相应概率如下:-|||-事件 A B C AB AC BC ABC-|||-概率 0.14 0.23 0.37 0.08 0.09 0.13 0.05-|||-随机抽取一位读者,求下列概率:-|||-(1) (A|B).-|||-(2) (Abot Bcup C).-|||-(3) (Acup Acup Bcup C),

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查条件概率的计算，涉及事件的交、并运算及容斥原理的应用。

解题核心思路：

  1. 条件概率公式：$P(A|B) = \dfrac{P(AB)}{P(B)}$，需明确分子为联合概率，分母为条件事件的概率。
  2. 事件运算转换：如$A \cap (B \cup C)$可展开为$AB \cup AC$，利用容斥原理计算概率。
  3. 全概率计算：对于复杂事件的并集（如$A \cup B \cup C$），需用包含排除原理展开。

破题关键点：

  • 分子与分母的拆分：根据事件关系拆分联合概率或并集概率。
  • 准确代入数据：注意题目给出的各交集概率（如$P(AB)$、$P(ABC)$）的对应关系。

(1) $P(A|B)$

条件概率公式直接应用：
$P(A|B) = \dfrac{P(AB)}{P(B)} = \dfrac{0.08}{0.23} \approx 0.348$

(2) $P(A|B \cup C)$

分子计算

$P(A \cap (B \cup C)) = P(AB \cup AC) = P(AB) + P(AC) - P(ABC) = 0.08 + 0.09 - 0.05 = 0.12$

分母计算

$P(B \cup C) = P(B) + P(C) - P(BC) = 0.23 + 0.37 - 0.13 = 0.47$

结果计算

$P(A|B \cup C) = \dfrac{0.12}{0.47} \approx 0.255$

(3) $P(A|A \cup B \cup C)$

分子简化

$P(A \cap (A \cup B \cup C)) = P(A)$

分母计算（包含排除原理）

$\begin{aligned}P(A \cup B \cup C) &= P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC) \\&= 0.14 + 0.23 + 0.37 - 0.08 - 0.09 - 0.13 + 0.05 \\&= 0.49\end{aligned}$

结果计算

$P(A|A \cup B \cup C) = \dfrac{0.14}{0.49} \approx 0.286$