论述题（共2题，20.0分）25.（10.0分）25.设方阵A满足A^2-A+3E=0，证明：A及3A-E可逆，并求逆矩阵。
题目解答
答案
由题意，方阵 $ A $ 满足 $ A^2 - A + 3E = 0 $。
-
证明 $ A $ 可逆并求逆矩阵：
由 $ A^2 - A + 3E = 0 $，得 $ A^2 - A = -3E $，即 $ A(A - E) = -3E $。
两边同乘 $ -\frac{1}{3} $，得 $ A\left(-\frac{1}{3}(A - E)\right) = E $。
故 $ A $ 可逆，且 $ A^{-1} = -\frac{1}{3}(A - E) = \frac{1}{3}(E - A) $。 -
证明 $ 3A - E $ 可逆并求逆矩阵：
由 $ A^2 - A + 3E = 0 $，得 $ A^2 = A - 3E $。
考虑 $ (3A - E)(A + kE) $，展开得：
$(3A - E)(A + kE) = 3A^2 + (3k - 1)A - kE = 3(A - 3E) + (3k - 1)A - kE = (3k + 2)A - (9 + k)E$
令其等于 $ mE $，则需 $ 3k + 2 = 0 $ 且 $ -(9 + k) = m $。
解得 $ k = -\frac{2}{3} $，$ m = -\frac{25}{3} $。
故 $ (3A - E)\left(A - \frac{2}{3}E\right) = -\frac{25}{3}E $，即 $ (3A - E)^{-1} = -\frac{3}{25}\left(A - \frac{2}{3}E\right) $。
结论：
$ A $ 可逆，$ A^{-1} = \frac{1}{3}(E - A) $；
$ 3A - E $ 可逆，$ (3A - E)^{-1} = -\frac{3}{25}\left(A - \frac{2}{3}E\right) $。
解析
本题主要考查方阵可逆的判定以及逆矩阵的求解。解题的关键思路是根据可逆矩阵的定义，若存在矩阵$B$使得$AB = E$（$E$为单位矩阵），则矩阵$A$可逆，且$A^{-1}=B$。我们需要通过对已知方程$A^{2}-A + 3E = 0$进行变形，凑出$A$与另一个矩阵相乘等于单位矩阵$E$的形式，以及$3A - E$与另一个矩阵相乘等于单位矩阵$E$的形式。
证明$A$可逆并求逆矩阵
已知方阵$A$满足$A^{2}-A + 3E = 0$，对其进行变形：
- 首先将方程移项可得$A^{2}-A=-3E$。
- 然后根据矩阵乘法分配律，将左边提取公因式$A$，得到$A(A - E)=-3E$。
- 为了得到$A$与另一个矩阵相乘等于$E$的形式，两边同时乘以$-\frac{1}{3}$，即$A\left(-\frac{1}{3}(A - E)\right)=E$。
根据可逆矩阵的定义，可知$A$可逆，且$A^{-1}=-\frac{1}{3}(A - E)=\frac{1}{3}(E - A)$。
证明$3A - E$可逆并求逆矩阵
同样已知$A^{2}-A + 3E = 0$，变形可得$A^{2}=A - 3E$。
考虑$(3A - E)(A + kE)$（这里引入参数$k$是为了通过展开式子，找到合适的$k$值使得结果为单位矩阵的倍数），根据矩阵乘法法则展开：
$\begin{align*}(3A - E)(A + kE)&=3A\times A+3A\times kE - E\times A - E\times kE\\&=3A^{2}+(3k - 1)A - kE\end{align*}$
将$A^{2}=A - 3E$代入上式可得：
$\begin{align*}3A^{2}+(3k - 1)A - kE&=3(A - 3E)+(3k - 1)A - kE\\&=3A - 9E+(3k - 1)A - kE\\&=(3 + 3k - 1)A-(9 + k)E\\&=(3k + 2)A-(9 + k)E\end{align*}$
令$(3k + 2)A-(9 + k)E=mE$（$m$为常数），要使等式成立，则$A$的系数$3k + 2 = 0$，且常数项$-(9 + k)=m$。
- 解方程$3k + 2 = 0$，移项可得$3k=-2$，解得$k = -\frac{2}{3}$。
- 将$k = -\frac{2}{3}$代入$-(9 + k)=m$，可得$m=-\left(9-\frac{2}{3}\right)=-\frac{25}{3}$。
所以$(3A - E)\left(A - \frac{2}{3}E\right)=-\frac{25}{3}E$，两边同时乘以$-\frac{3}{25}$，得到$(3A - E)\left(-\frac{3}{25}\left(A - \frac{2}{3}E\right)\right)=E$。
根据可逆矩阵的定义，可知$3A - E$可逆，且$(3A - E)^{-1}=-\frac{3}{25}\left(A - \frac{2}{3}E\right)$。