题目
设D: leqslant (x)^2+(y)^2, =dfrac (dxdy)(sqrt {{x)^2+(y)^2}}=()leqslant yleqslant xleqslant 2，则D: leqslant (x)^2+(y)^2, =dfrac (dxdy)(sqrt {{x)^2+(y)^2}}=()leqslant yleqslant xleqslant 2
设
，则
题目解答
答案
首先根据题干可知：，所以可以令：
，所以
，所以
，所以原二重积分可化为：
解析
步骤 1：确定积分区域
根据题干，积分区域D由不等式$2x\leqslant {x}^{2}+{y}^{2}$，$0\leqslant y\leqslant x\leqslant 2$定义。为了方便计算，我们考虑将直角坐标系下的积分区域转换为极坐标系下的积分区域。
步骤 2：转换为极坐标系
令$x=r\cos \theta$，$y=r\sin \theta$，则有$2r\cos \theta \leqslant r^2$，即$r \geqslant 2\cos \theta$。同时，$0\leqslant y\leqslant x\leqslant 2$转换为极坐标系下的条件为$0\leqslant \theta\leqslant \frac{\pi}{4}$，$0\leqslant r\leqslant 2\cos \theta$。
步骤 3：计算二重积分
将原二重积分转换为极坐标系下的二重积分，即$T=\iint \dfrac {dxdy}{\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}}$转换为$T=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\int_{2\cos \theta}^{2} \dfrac {rdrd\theta}{r}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\int_{2\cos \theta}^{2} drd\theta$。计算得$T=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(2-2\cos \theta)d\theta=2\theta-2\sin \theta|_{0}^{\frac{\pi}{4}}=2(\frac{\pi}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2})$。
根据题干，积分区域D由不等式$2x\leqslant {x}^{2}+{y}^{2}$，$0\leqslant y\leqslant x\leqslant 2$定义。为了方便计算，我们考虑将直角坐标系下的积分区域转换为极坐标系下的积分区域。
步骤 2：转换为极坐标系
令$x=r\cos \theta$，$y=r\sin \theta$，则有$2r\cos \theta \leqslant r^2$，即$r \geqslant 2\cos \theta$。同时，$0\leqslant y\leqslant x\leqslant 2$转换为极坐标系下的条件为$0\leqslant \theta\leqslant \frac{\pi}{4}$，$0\leqslant r\leqslant 2\cos \theta$。
步骤 3：计算二重积分
将原二重积分转换为极坐标系下的二重积分，即$T=\iint \dfrac {dxdy}{\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}}$转换为$T=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\int_{2\cos \theta}^{2} \dfrac {rdrd\theta}{r}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\int_{2\cos \theta}^{2} drd\theta$。计算得$T=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(2-2\cos \theta)d\theta=2\theta-2\sin \theta|_{0}^{\frac{\pi}{4}}=2(\frac{\pi}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2})$。