题目
A=（_(1),(a)_(2),... ,(a)_(n)）,_(1),(a)_(2),... ,(a)_(n)是n维列向量，下列命题是真命题的是 A.当n<m时，向量组A线性相关 B.当n>m时，向量组A线性无关 C.当n<m时，AX=0只有零解 D.当n<m时，AX=0有非零解 E.当n>m时，向量组A线性相关 F.当n<m时，向量组A线性无关
A=（
）,
是n维列向量，下列命题是真命题的是
A.当n<m时，向量组A线性相关
B.当n>m时，向量组A线性无关
C.当n<m时，AX=0只有零解
D.当n<m时，AX=0有非零解
E.当n>m时，向量组A线性相关
F.当n<m时，向量组A线性无关
题目解答
答案
由题可知，n维列向量
A=（），向量个数是m
根据定义知，当向量个数小于维数时，即m<n时线性无关，所以B正确
当维数小于向量个数时方程AX=0有非零解，D正确
所以真命题是B和D
故选择：BD
解析
步骤 1：理解向量组线性相关和线性无关的定义
向量组线性相关是指存在不全为零的数k1, k2, ..., km，使得k1α1 + k2α2 + ... + kmαm = 0。如果不存在这样的数，即只有当k1 = k2 = ... = km = 0时，才有k1α1 + k2α2 + ... + kmαm = 0，则向量组线性无关。
步骤 2：分析向量组A的维数和向量个数
由题可知，A=（α1,α2,···,αm），向量个数是m，每个向量是n维的。根据线性代数中的定理，当向量个数大于维数时，即m > n时，向量组A线性相关；当向量个数小于或等于维数时，即m ≤ n时，向量组A可能线性相关也可能线性无关，需要进一步分析。
步骤 3：分析方程AX=0的解
方程AX=0的解与向量组A的线性相关性有关。当向量组A线性相关时，方程AX=0有非零解；当向量组A线性无关时，方程AX=0只有零解。
步骤 4：判断每个命题的真假
A. 当n < m时，向量组A线性相关。根据步骤2，当m > n时，向量组A线性相关，所以A是真命题。
B. 当n > m时，向量组A线性无关。根据步骤2，当m < n时，向量组A可能线性相关也可能线性无关，所以B是假命题。
C. 当n < m时，AX=0只有零解。根据步骤3，当向量组A线性相关时，方程AX=0有非零解，所以C是假命题。
D. 当n < m时，AX=0有非零解。根据步骤3，当向量组A线性相关时，方程AX=0有非零解，所以D是真命题。
E. 当n > m时，向量组A线性相关。根据步骤2，当m < n时，向量组A可能线性相关也可能线性无关，所以E是假命题。
F. 当n < m时，向量组A线性无关。根据步骤2，当m > n时，向量组A线性相关，所以F是假命题。
向量组线性相关是指存在不全为零的数k1, k2, ..., km，使得k1α1 + k2α2 + ... + kmαm = 0。如果不存在这样的数，即只有当k1 = k2 = ... = km = 0时，才有k1α1 + k2α2 + ... + kmαm = 0，则向量组线性无关。
步骤 2：分析向量组A的维数和向量个数
由题可知，A=（α1,α2,···,αm），向量个数是m，每个向量是n维的。根据线性代数中的定理，当向量个数大于维数时，即m > n时，向量组A线性相关；当向量个数小于或等于维数时，即m ≤ n时，向量组A可能线性相关也可能线性无关，需要进一步分析。
步骤 3：分析方程AX=0的解
方程AX=0的解与向量组A的线性相关性有关。当向量组A线性相关时，方程AX=0有非零解；当向量组A线性无关时，方程AX=0只有零解。
步骤 4：判断每个命题的真假
A. 当n < m时，向量组A线性相关。根据步骤2，当m > n时，向量组A线性相关，所以A是真命题。
B. 当n > m时，向量组A线性无关。根据步骤2，当m < n时，向量组A可能线性相关也可能线性无关，所以B是假命题。
C. 当n < m时，AX=0只有零解。根据步骤3，当向量组A线性相关时，方程AX=0有非零解，所以C是假命题。
D. 当n < m时，AX=0有非零解。根据步骤3，当向量组A线性相关时，方程AX=0有非零解，所以D是真命题。
E. 当n > m时，向量组A线性相关。根据步骤2，当m < n时，向量组A可能线性相关也可能线性无关，所以E是假命题。
F. 当n < m时，向量组A线性无关。根据步骤2，当m > n时，向量组A线性相关，所以F是假命题。