题目

设 η0 是非齐次线性方程组 Ax=b 的一个特解， ξ1 ， ξ2 是其导出组 Ax=0 的一个基础解系。试证明： (1)η1=η0+ξ1 ， η2=η0+ξ2 均是 Ax=b 的解； (2)η0 ， η1 ， η2 线性无关。

设 η0 是非齐次线性方程组 Ax=b 的一个特解， ξ1 ， ξ2 是其导出组 Ax=0 的一个基础解系。试证明：

(1)η1=η0+ξ1 ， η2=η0+ξ2 均是 Ax=b 的解；

(2)η0 ， η1 ， η2 线性无关。

题目解答

答案

证明：(1)由于 Aη0=b ， Aξ1=Aξ2=0 ，因此

Aηi=Aη0+Aξi=b+0=b(i=1,2)

∴η1=η0+ξ1 ， η2=η0+ξ2 均是 Ax=b 的解

(2)设 k1η0+k2η1+k3η2=0 ，则

(k1+k2+k3)η0+k2ξ1+k3ξ2=0

等式两边左乘 A 得

(k1+k2+k3)b+0+0=0

由 b≠0 ，得

k1+k2+k3=0

∴k2ξ1+k3ξ2=0

再由 ξ1 ， ξ2 线性无关，得 k2=k3=0.

∴k1=k2=k3=0，

∴η0 、 η1 、 η2 线性无关

解析

步骤 1：证明 η1=η0+ξ1 和 η2=η0+ξ2 是 Ax=b 的解
由于 Aη0=b ， Aξ1=Aξ2=0 ，因此
Aηi=Aη0+Aξi=b+0=b(i=1,2)
步骤 2：证明 η0 ， η1 ， η2 线性无关
设 k1η0+k2η1+k3η2=0 ，则
(k1+k2+k3)η0+k2ξ1+k3ξ2=0
等式两边左乘 A 得
(k1+k2+k3)b+0+0=0
由 b≠0 ，得
k1+k2+k3=0
∴k2ξ1+k3ξ2=0
再由 ξ1 ， ξ2 线性无关，得 k2=k3=0.
∴k1=k2=k3=0，
∴η0 、 η1 、 η2 线性无关