五、应用题（每题10分，共20分）1.已知f(x)=x^3+6x^2-15x+2，求函数f(x)的单调区间与极值；
题目解答
答案
-
求导数：
$ f'(x) = 3x^2 + 12x - 15 = 3(x^2 + 4x - 5) = 3(x + 5)(x - 1) $。 -
求临界点：
$ f'(x) = 0 $ 得 $ x = -5 $ 或 $ x = 1 $。 -
确定单调区间：
- 当 $ x < -5 $ 或 $ x > 1 $ 时，$ f'(x) > 0 $，函数单调递增；
- 当 $ -5 < x < 1 $ 时，$ f'(x) < 0 $，函数单调递减。
-
求极值：
- $ x = -5 $ 处，$ f(-5) = 102 $，为极大值；
- $ x = 1 $ 处，$ f(1) = -6 $，为极小值。
答案：
单调增区间：$ (-\infty, -5) $，$ (1, +\infty) $；
单调减区间：$ (-5, 1) $；
极大值：$ f(-5) = 102 $；
极小值：$ f(1) = -6 $。
$\boxed{\begin{array}{ll}\text{单调增区间：} & (-\infty, -5), (1, +\infty) \\\text{单调减区间：} & (-5, 1) \\\text{极大值：} & f(-5) = 102 \\\text{极小值：} & f(1) = -6 \\\end{array}}$
解析
本题主要考察利用导数求函数的单调区间与极值，核心思路是通过导数的正负判断函数单调性，导数为零的点可能是极值点，再结合导数符号变化确定极值类型。
步骤1：求导数
函数 $f(x) = x^3 + 6x^2 - 15x + 2$ 的导数为：
$f'(x) = 3x^2 + 12x - 15$
因式分解得：
$f'(x) = 3(x^2 + 4x - 5) = 3(x + 5)(x - 1)$
步骤2：求临界点
令 $f'(x) = 0$，解得：
$x = -5 \quad \text{或} \quad x = 1$
这两个点将定义域 $(-\infty, +\infty)$ 分为三个区间：$(-\infty, -5)$、$(-5, 1)$、$(1, +\infty)$。
步骤3：确定单调区间
- 当 $x < -5$ 时，$(x + 5) < 0$、$(x - 1) < 0$，故 $f'(x) = 3 \times (-) \times (-) > 0$，函数单调递增；
- 当 $-5 < x < 1$ 时，$(x + 5) > 0$、$(x - 1) < 0$，故 $f'(x) = 3 \times (+) \times (-) < 0$，函数单调递减；
- 当 $x > 1$ 时，$(x + 5) > 0$、$(x - 1) > 0$，故 $f'(x) = 3 \times (+) \times (+) > 0$，函数单调递增。
步骤4：求极值
-
在 $x = -5$ 处：左侧导数 $> 0$，右侧导数 $< 0$，函数先增后减，故 $f(-5)$ 为极大值；
计算得：$f(-5) = (-5)^3 + 6(-5)^2 - 15(-5) + 2 = -125 + 150 + 75 + 2 = 102$； -
在 $x = 1$ 处：左侧导数 $< 0$，右侧导数 $> 0$，函数先减后增，故 $f(1)$ 为极小值；
计算得：$f(1) = 1^3 + 6 \times 1^2 - 15 \times 1 + 2 = 1 + 6 - 15 + 2 = -6$。