将下列复数写成三角表示式：(1) 1-sqrt(3)i;(2) (2i)/(1+i).

我们来逐个将给定的复数写成三角表示式。复数的三角表示式的一般形式为：

$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$

其中：

• $ r = |z| $ 是复数的模；
• $ \theta = \arg(z) $ 是复数的辐角（通常取主值，即 $ \theta \in (-\pi, \pi] $ 或 $ [0, 2\pi) $，我们这里使用 $ (-\pi, \pi] $）。

（1）$ z = 1 - \sqrt{3}i $

第一步：求模 $ r $

$r = |z| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

第二步：求辐角 $ \theta $

这个复数的实部为正，虚部为负，位于第四象限。

$\tan\theta = \frac{-\sqrt{3}}{1} = -\sqrt{3}$

我们知道 $ \tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3} $，所以在第四象限，对应的角度是：

$\theta = -\frac{\pi}{3}$

（因为第四象限的负角，对应 $ -60^\circ $）

第三步：写出三角表示式

$z = 2\left( \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) \right)$

也可以写成：

$z = 2\left( \cos\frac{\pi}{3} - i\sin\frac{\pi}{3} \right)$

但标准三角形式保留角度形式更清晰。

✅ 答案（1）：
$\boxed{2\left( \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) \right)}$

（2）$ z = \frac{2i}{1+i} $

这个是复数的除法，我们先进行化简，写成代数形式 $ a + bi $，然后再转三角形式。

第一步：化简复数

分子：$ 2i $
分母：$ 1+i $

我们对分母有理化，乘以共轭 $ 1-i $：

$z = \frac{2i}{1+i} \cdot \frac{1-i}{1-i} = \frac{2i(1-i)}{(1+i)(1-i)}$

计算分母：

$(1+i)(1-i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 2$

计算分子：

$2i(1-i) = 2i - 2i^2 = 2i - 2(-1) = 2i + 2 = 2 + 2i$

所以：

$z = \frac{2 + 2i}{2} = 1 + i$

第二步：求模 $ r $

$r = |1+i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

第三步：求辐角 $ \theta $

实部和虚部都为正，位于第一象限。

$\tan\theta = \frac{1}{1} = 1 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{4}$

第四步：写出三角表示式

$z = \sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} \right)$

✅ 答案（2）：
$\boxed{\sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} \right)}$

最终答案总结：

（1）$ \boxed{2\left( \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) \right)} $

（2）$ \boxed{\sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} \right)} $