15. (5.0分) 半球面 z=sqrt(3-x^2)-y^(2) 和锥面 z=sqrt(2(x^2)+y^(2)) 的交线在 xoy 面上的投影是( ).A. 半径为1的圆B. 半径为1的圆盘C. 半径为 sqrt(3) 的圆D. 半径为 sqrt(3) 的圆盘

本题考查空间曲线在坐标面上的投影相关知识。解题的关键思路是先求出半球面和锥面交线的方程，然后通过消去$z$得到投影柱面方程，最后根据投影柱面方程确定交线在$xoy$面上的投影。

步骤一：联立半球面和锥面的方程

已知半球面方程为$z = \sqrt{3 - x^2 - y^2}$，锥面方程为$z = \sqrt{2(x^2 + y^2)}$，联立这两个方程可得交线方程：
$\begin{cases}z = \sqrt{3 - x^2 - y^2}\\z = \sqrt{2(x^2 + y^2)}\end{cases}$

步骤二：消去$z$得到投影柱面方程

因为两个方程都等于$z$，所以$\sqrt{3 - x^2 - y^2}=\sqrt{2(x^2 + y^2)}$。
两边同时平方可得：
$3 - x^2 - y^2 = 2(x^2 + y^2)$
移项可得：
$3 = 2(x^2 + y^2)+x^2 + y^2$
合并同类项可得：
$3 = 3(x^2 + y^2)$
两边同时除以$3$得：
$x^2 + y^2 = 1$
此方程即为交线关于$xoy$面的投影柱面方程，它表示一个以原点为圆心，半径为$1$的圆柱面。

步骤三：确定投影曲线

由于投影柱面与$xoy$面的交线就是交线在$xoy$面上的投影，而$xoy$面的方程为$z = 0$，所以交线在$xoy$面上的投影曲线方程为$\begin{cases}x^2 + y^2 = 1\\z = 0\end{cases}$，这表示一个半径为$1$的圆。