18.(导选题,5,0分)-|||-在下列无穷级数中,收敛的级数是 ()-|||-A sum _(n=1)^infty (sqrt (n+1)-sqrt (n));-|||-B sum _(n=1)^infty ((dfrac {n)(n+1))}^n-|||-sum _(n=1)^infty ln (1+dfrac (1)(n));-|||-D sum _(n=1)^infty dfrac ({(-1))^n-1}({n)^2+1}.

本题考查无穷级数的收敛性判断，需结合多种判别方法逐一分析选项。关键点在于：

1. 通项是否趋于零：若通项不趋于零，级数必发散；
2. 比较判别法：与已知收敛性级数（如$p$-级数）比较；
3. 绝对收敛性：若绝对级数收敛，则原级数绝对收敛；
4. 特殊级数性质：如调和级数发散，交错级数的处理等。

选项A：$\sum _{n=1}^{\infty }(\sqrt {n+1}-\sqrt {n})$

通项化简

$\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \approx \frac{1}{2\sqrt{n}}$

收敛性判断

比较于发散的$p$-级数$\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$（$p=1/2 < 1$），由比较判别法知发散。

选项B：$\sum _{n=1}^{\infty }\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^{n}$

通项极限

$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^n = \lim_{n \to \infty} e^{-n/(n+1)} = e^{-1} \neq 0$

必要条件不满足

通项不趋于零，级数发散。

选项C：$\sum _{n=1}^{\infty }\ln \left(1+\dfrac{1}{n}\right)$

通项近似

$\ln\left(1+\frac{1}{n}\right) \approx \frac{1}{n}$（泰勒展开）

收敛性判断

比较于发散的调和级数$\sum \frac{1}{n}$，由比较判别法知发散。

选项D：$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac{{(-1)}^{n}-1}{{n}^{2}+1}$

绝对值分析

当$n$为偶数时，分子为$0$；当$n$为奇数时，分子为$2$。
绝对值通项为$\frac{2}{n^2 +1}$（奇数项），比较于收敛的$p$-级数$\sum \frac{1}{n^2}$（$p=2 > 1$），由比较判别法知绝对收敛。