题目
设矩阵 A = } 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 , 则 A 与 B 的关系为 ()A. 合同但不相似；B. 合同且相似；C. 不合同但相似；D. 不合同且不相似.
设矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} $, $B = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $, 则 $A $与 $B $的关系为 ()
A. 合同但不相似；
B. 合同且相似；
C. 不合同但相似；
D. 不合同且不相似.
题目解答
答案
B. 合同且相似；
解析
步骤 1：计算矩阵 $A$ 的特征值
矩阵 $A$ 的秩为1，迹为3，因此其特征值为3, 0, 0。
步骤 2：计算矩阵 $B$ 的特征值
矩阵 $B$ 的特征值直接从其对角线元素读出，为3, 0, 0。
步骤 3：判断矩阵 $A$ 与 $B$ 是否相似
由于矩阵 $A$ 和 $B$ 的特征值相同，因此它们相似。
步骤 4：判断矩阵 $A$ 与 $B$ 是否合同
矩阵 $A$ 和 $B$ 均为实对称矩阵，且正惯性指数均为1，负惯性指数均为0，因此它们合同。
矩阵 $A$ 的秩为1，迹为3，因此其特征值为3, 0, 0。
步骤 2：计算矩阵 $B$ 的特征值
矩阵 $B$ 的特征值直接从其对角线元素读出，为3, 0, 0。
步骤 3：判断矩阵 $A$ 与 $B$ 是否相似
由于矩阵 $A$ 和 $B$ 的特征值相同，因此它们相似。
步骤 4：判断矩阵 $A$ 与 $B$ 是否合同
矩阵 $A$ 和 $B$ 均为实对称矩阵，且正惯性指数均为1，负惯性指数均为0，因此它们合同。