题目

2.画出积分区域,并计算下列二重积分:-|||-(1) (iint )_(D)xsqrt (y)dsigma , 其中D是由两条抛物线 =sqrt (x) =(x)^2 所围成的闭区域;-|||-(2)厂xy^2dσ,其中D是由圆周 ^2+(y)^2=4 及y轴所围成的右半闭区域;-|||-(3) (iint )_(D)(e)^x+ydsigma , 其中 = (x,y)||x|+|y|leqslant 1 ;-|||-(4) iint ((x)^2+(y)^2-x)dsigma , 其中D是由直线 =2, y=x 及 y=2x 所围成的闭区域.

题目解答

答案

解析

题目考察知识

本题主要考察二重积分的计算，需先确定积分区域，再选择合适的积分顺序（通常是先对对一个变量积分，再对另一个变量积分），将二重积分转化为累次积分进行计算。

各小题详细解析

(1) 计算$\iint_D x\sqrt{y}\,dxdy$，其中其中$D$由$y=\sqrt{x}$和$y=x^2$围成

  1. 确定积分区域：
    联立$y=$\sqrt{x}$和y=x²，得交点(0,0)和(1,1)。在x∈[0,1]时，y的范围是x²≤y≤$\sqrt{x}$。
  2. 累次积分转化：
    $\iint_D x\sqrt{y}\,dxdy=\int_0^1 x\left(\int_{x^2}^{\sqrt{x}} \sqrt\\sqrt{y}dy\right)dx$
  3. 内层积分计算：
    $\int_{x^2}^{\sqrt{x}} \sqrt{sqrt{y}\}dy=\left[\frac{2}{3}y^{3/2}\right]_{x^2}^{\sqrt{x}}=\frac{2}{3}\left((\sqrt{x})^{3/2}-(x^2)^{3/2}\right)=\frac{2}{3}{x^{3/4}-x^3}\right.}$
  4. 外层积分计算：
    $\int_0^1 x\left(\frac{2}{3}x^{3/4}-x^3\right)dx=\frac{2}{3}\int_0^1 x^{7/4}dx-\int_0^1 x^4dx=\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{11}-\frac{1}{5}=\frac{8}{33}-\frac{1}{5}=\frac{6}{55}$

(2)计算$\iint_D xy^2\,d\sigma$，$D$由$x^2+y^2=4$及y轴围成的右半闭区域

  1. 确定积分区域：
    右半区域x∈[0,2]，对每个x，y∈[-sqrt(4-x²),sqrt(4-x²)]。
  2. 累次积分转化：
    $\iint_D xy^2d\sigma=\int_0^2 x\left(\int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}} y^2dy\right)dx$
  3. 内层积分计算：
    $\int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2} y^2dy=2\int_0^{\sqrt{4-x^2}} y^2dy=2\left[\frac{y^3}{3}]_0^{\sqrt{4-x^2}}=\frac{2}{3}(4-x^2)^{3/2}$
  4. 外层积分计算：
    $\int_0^2 x\cdot\frac{2}{3}(4-x^2)^{3/2}dx=\frac{2}{3}\int_0^2 x(4-x^2)^{3/2}dx$
    令$u=4-x^2$，$du=-2xdx$，得：
    $\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\int_4^0 u^{3/2}du=\frac{1}{3}\cdot\left[\frac{2}{5}u^{5/2}]_0^4=\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{5}\cdot32=\frac{64}{15}$

(3) 计算$\iint_D e^{x+y}d\sigma$，$D=\{(x,y)||x|+|y|\leq1\}$

  1. 确定积分区域：$D$是顶点为顶点(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)的菱形，分x∈[-1,0]和x∈[0,1]两部分。
  2. 累次积分转化：
    $\iint_D e^{x+y}d\sigma=\int_{-1}^0 e^x\left(\int_{-x-1}^{x+1} e^ydy\right)dx+\int_0^1 e^x\left(\int_{x-1}^{-x+1} e^ydy\right)dx$
  3. 内层积分计算：
    对x∈[-1,0]：$\int_{-x-1}^{x+1}eee^y dy=e^{x+1}-e^{-x-1}$
    对x∈[0,1]：$\int_{x-1^{-x+1} e^y dy=e^{-x+1}-e^{x-1}$
  4. 外层积分计算：
    $\int_{-1}^0 e^x(e^{x+1}-e^{-x-1})dx+\int_0^1 e^x(e^{-x+1}-e^{x-1})dx$
    $=\int_{-1}^0 (e^{2x+1}-e^{-1})dx+\int_0^1 (e-e^{x-1})dx$
    $=[e^{x+1}x-e^{-1}x]_{-1}^0+[ex-e^{x-1}]_0^1=(e^0+e^{-1})-(e-e^{-1})=e-e^{-1}$

(4) 计算$\iint_D (x^2+y^2-x)d\sigma$，$D$由y=2,y=x,y=2x围成

  1. 确定积分区域区域项**+y^2-x)d\sigma$，$D$由$y=2,y=x,y=2x$围成
  2. 确定积分区域：交点(0,0),(2,2),(1,2)，y∈[0,2]时，x范围是y/2≤x≤y。
  3. 累次积分转化：
    $\iint_D (x^2+y^2-x)d\sigma=\int_0^2\left(\int_{y/2}^y (x^2+y^2-x)dx\right)dy\right.$
  4. 内层积分计算：
    $\int_{y/2}^y (x^2+y^2-x)dx=[\frac{x^3}{3}+y^2x-\frac{x^2}{2}]_{y/2}^y$
    $= $(\frac{y^3}{3}+y^3-\frac{y^2}{2})-(\frac{y^3}{248}+\frac{y^3}{2}-\frac{y^2}{8})=\frac{y^3}{3}+\frac{y^3}{2}-\frac{y^2}{8}-\frac{y^3}{48}$
  5. 外层积分计算：
    $\int_0^2 (\frac{17}{48}y^3+\frac{y^3}{2}-\frac{y^2}{8})dy=\int_0^2 (\frac{43}{48}y^3-\frac{y^2}{8})dy$
    $=\frac{43}{48}\cdot\frac{16}{4}-\frac{1}{8}\cdot\frac{8}{3=\frac{43}{12}-\frac{1}{3}=\frac{13}{6}}$