题目

三、判断以下等式是否成立1) A∪B=AB∪B; ( )2) overline(A∪BC)=overline(B∪C); ( )3) 若overline(A)subsetoverline(B),则overline(B)subsetoverline(A); ( )4) overline(ABC)=overline(A)overline(B)overline(C); ( )5) overline(A∪B∪C)=overline(A∪B∪C); ( )6) overline(ABC)=overline(A∪B∪C); ( )7) bigcup_(i=1)^nA_(i)=bigcap_(i=1)^noverline(A_{i)}; ( )

三、判断以下等式是否成立 1) $A∪B=AB∪B;$ ( ) 2) $\overline{A∪BC}=\overline{B∪C};$ ( ) 3) 若$\overline{A}\subset\overline{B},$则$\overline{B}\subset\overline{A};$ ( ) 4) $\overline{ABC}=\overline{A}\overline{B}\overline{C};$ ( ) 5) $\overline{A∪B∪C}=\overline{A∪B∪C};$ ( ) 6) $\overline{ABC}=\overline{A∪B∪C};$ ( ) 7) $\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}=\bigcap_{i=1}^{n}\overline{A_{i}}; $ ( )

题目解答

答案

我们来逐一分析这些等式是否成立。 1) $A∪B=AB∪B;$ 解析：这里的$AB$通常表示$A$和$B$的交集，即$A∩B$。所以等式可以写作$A∪B=(A∩B)∪B$。根据集合的吸收律，$(A∩B)∪B=B$，因此等式进一步简化为$A∪B=B$。这显然不总是成立的，除非$A$是$B$的子集。因此，这个等式不总是成立。答案：错误 2) $\overline{A∪BC}=\overline{B∪C};$ 解析：这里的$BC$同样表示$B$和$C$的交集，即$B∩C$。等式左边表示$A$与$B∩C$的并集的补集，而右边表示$B$与$C$的并集的补集。根据德摩根定律，$\overline{A∪(B∩C)}=\overline{A}∩(\overline{B}∪\overline{C})$，而$\overline{B∪C}=\overline{B}∩\overline{C}$。显然，这两个表达式不等价，除非$A$为空集。因此，这个等式不总是成立。答案：错误 3) 若$\overline{A}\subset\overline{B},$则$\overline{B}\subset\overline{A};$ 解析：根据集合的补集性质，如果$\overline{A}\subset\overline{B}$，那么$B\subset A$。根据集合的包含关系，如果$B\subset A$，那么$\overline{A}\subset\overline{B}$的逆否命题是$\overline{B}\subset\overline{A}$。因此，这个等式是成立的。答案：正确 4) $\overline{ABC}=\overline{A}\overline{B}\overline{C};$ 解析：这里的$ABC$表示$A$、$B$和$C$的交集，即$A∩B∩C$。等式左边表示$A∩B∩C$的补集，而右边表示$A$、$B$和$C$的补集的交集。根据德摩根定律，$\overline{A∩B∩C}=\overline{A}∪\overline{B}∪\overline{C}$，而$\overline{A}\overline{B}\overline{C}=\overline{A}∩\overline{B}∩\overline{C}$。显然，这两个表达式不等价。因此，这个等式不成立。答案：错误 5) $\overline{A∪B∪C}=\overline{A∪B∪C};$ 解析：这个等式左边和右边完全相同，表示$A$、$B$和$C$的并集的补集。显然，这个等式总是成立的。答案：正确 6) $\overline{ABC}=\overline{A∪B∪C};$ 解析：这里的$ABC$表示$A$、$B$和$C$的交集，即$A∩B∩C$。等式左边表示$A∩B∩C$的补集，而右边表示$A$、$B$和$C$的并集的补集。根据德摩根定律，$\overline{A∩B∩C}=\overline{A}∪\overline{B}∪\overline{C}$，而$\overline{A∪B∪C}=\overline{A}∩\overline{B}∩\overline{C}$。显然，这两个表达式不等价。因此，这个等式不成立。答案：错误 7) $\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}=\bigcap_{i=1}^{n}\overline{A_{i}}; $ 解析：等式左边表示从$1$到$n$的$A_i$的并集，而右边表示从$1$到$n$的$A_i$的补集的交集。根据德摩根定律，$\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}$的补集等于$\bigcap_{i=1}^{n}\overline{A_{i}}$。因此，等式左边的补集等于等式右边。但是，等式左边和右边本身并不相等。因此，这个等式不成立。答案：错误总结： 1) 错误 2) 错误 3) 正确 4) 错误 5) 正确 6) 错误 7) 错误

解析

本题主要考察集合的基本运算性质，包括集合的交、并、补运算，以及吸收律、德摩根定律、集合包含关系的性质等，，需逐一分析每个等式是否恒成立。

1) $A∪B=AB∪B\overline{B}$

解析：题目中“$AB$”通常表示交集$A∩B$，等式右侧为$(A∩B)∪\overline{B}$。根据集合吸收律：$(A∩B)∪\overline{B}=\overline{B}$，等式简化为$A∪B=B$。仅当$A⊂B$时成立，非恒成立性不满足，错误。

2) $\overline{A∪BC}=\overline{B∪C}$

解析：“$BC$”表示$B∩C$，左侧为$\overline{A∪(B∩C)}$，右侧为$\overline{B∪C}$。根据德摩根定律：
左侧$=\overline{A}∩\overline{B}∩\overline{C}$？不，德摩根定律$\overline{X∪Y}=\overline{X}∩\overline{Y}$，故$\overline{A∪(B∩C)}=\overline{A}∩\overline{B∩C}=\overline{A}∩(\overline{B}∪\overline{C})$；
右侧$\overline{B∪C}=\overline{B}∩\overline{C}$)。显然两者不等价（除非$A=∅$，非恒成立，错误**。

3) 若$\overline{A}\subset\overline{B}$，则$\overline{B}\subsetoverline{A}$

解析：集合补集性质：$\overline{A}\subset\subset\overline{B}\iff B\subset A$（逆否命题）。若$B\subset A$，则$\overline{A}\subset\overline{B}$的逆否命题为$\overline{B}\subset\overline{A}$，即原命题成立，**正确。

4) $\overline{ABC}=\overline{A}\overline{B}\overline{C}$

解析：“$ABC\overline{ABC}$”为$\overline{A∩B∩C}$，右侧$\overline{A}\overline{B}\overline{C}$为$=\overline{A}∩\overline{B}∩\overline{C}$。根据德摩根定律：$\overline{A∩B∩C}=\overline{A}∪\overline{B}∪\overline{C}$，与右侧交集不等价，错误。

5) $\overline{A∪B∪C}=\overline{A∪B∪C}$

解析：等式左右完全相同，i显然恒成立，正确。

6) $\overline{ABC}=\overline{A∪B∪C}$

解析：$\overline{ABC}=\overline{A∩B∩C}=\overline{A}∪\overline{B}∪\overline{C}$，右侧$\overline{A∪B∪C}=\overline{A}∩\overline{B}∩\overline{C}$，两者不等价，错误**。

7) $\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}=\bigcap_{i=1}^{n}\overline{A_{i}}$

解析：根据德摩根定律：$\overline{\bigcup_{i=1}^n A_i}=\bigcap_{i=1}^n\overline{A_i}$，即左侧的补集等于右侧，而非左侧等于右侧，错误。