三、判断以下等式是否成立1) A∪B=AB∪B; ( )2) overline(A∪BC)=overline(B∪C); ( )3) 若overline(A)subsetoverline(B),则overline(B)subsetoverline(A); ( )4) overline(ABC)=overline(A)overline(B)overline(C); ( )5) overline(A∪B∪C)=overline(A∪B∪C); ( )6) overline(ABC)=overline(A∪B∪C); ( )7) bigcup_(i=1)^nA_(i)=bigcap_(i=1)^noverline(A_{i)}; ( )

我们来逐一分析这些等式是否成立。 1) $A∪B=AB∪B;$ 解析：这里的$AB$通常表示$A$和$B$的交集，即$A∩B$。所以等式可以写作$A∪B=(A∩B)∪B$。根据集合的吸收律，$(A∩B)∪B=B$，因此等式进一步简化为$A∪B=B$。这显然不总是成立的，除非$A$是$B$的子集。因此，这个等式不总是成立。 答案：错误 2) $\overline{A∪BC}=\overline{B∪C};$ 解析：这里的$BC$同样表示$B$和$C$的交集，即$B∩C$。等式左边表示$A$与$B∩C$的并集的补集，而右边表示$B$与$C$的并集的补集。根据德摩根定律，$\overline{A∪(B∩C)}=\overline{A}∩(\overline{B}∪\overline{C})$，而$\overline{B∪C}=\overline{B}∩\overline{C}$。显然，这两个表达式不等价，除非$A$为空集。因此，这个等式不总是成立。 答案：错误 3) 若$\overline{A}\subset\overline{B},$则$\overline{B}\subset\overline{A};$ 解析：根据集合的补集性质，如果$\overline{A}\subset\overline{B}$，那么$B\subset A$。根据集合的包含关系，如果$B\subset A$，那么$\overline{A}\subset\overline{B}$的逆否命题是$\overline{B}\subset\overline{A}$。因此，这个等式是成立的。 答案：正确 4) $\overline{ABC}=\overline{A}\overline{B}\overline{C};$ 解析：这里的$ABC$表示$A$、$B$和$C$的交集，即$A∩B∩C$。等式左边表示$A∩B∩C$的补集，而右边表示$A$、$B$和$C$的补集的交集。根据德摩根定律，$\overline{A∩B∩C}=\overline{A}∪\overline{B}∪\overline{C}$，而$\overline{A}\overline{B}\overline{C}=\overline{A}∩\overline{B}∩\overline{C}$。显然，这两个表达式不等价。因此，这个等式不成立。 答案：错误 5) $\overline{A∪B∪C}=\overline{A∪B∪C};$ 解析：这个等式左边和右边完全相同，表示$A$、$B$和$C$的并集的补集。显然，这个等式总是成立的。 答案：正确 6) $\overline{ABC}=\overline{A∪B∪C};$ 解析：这里的$ABC$表示$A$、$B$和$C$的交集，即$A∩B∩C$。等式左边表示$A∩B∩C$的补集，而右边表示$A$、$B$和$C$的并集的补集。根据德摩根定律，$\overline{A∩B∩C}=\overline{A}∪\overline{B}∪\overline{C}$，而$\overline{A∪B∪C}=\overline{A}∩\overline{B}∩\overline{C}$。显然，这两个表达式不等价。因此，这个等式不成立。 答案：错误 7) $\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}=\bigcap_{i=1}^{n}\overline{A_{i}}; $ 解析：等式左边表示从$1$到$n$的$A_i$的并集，而右边表示从$1$到$n$的$A_i$的补集的交集。根据德摩根定律，$\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}$的补集等于$\bigcap_{i=1}^{n}\overline{A_{i}}$。因此，等式左边的补集等于等式右边。但是，等式左边和右边本身并不相等。因此，这个等式不成立。 答案：错误 总结： 1) 错误 2) 错误 3) 正确 4) 错误 5) 正确 6) 错误 7) 错误