题目

两列波布一根很长的弦线上传播,其表达式分别为_(1)=4cos pi (40t-x)/2(y)_(1)=4cos pi (40t+x)'2(sx)则在x=0毛x=10 m内两波叠加后的节点位置是:

两列波布一根很长的弦线上传播,其表达式分别为 $:y_1=4\cos\pi(40t-x)/2\ \ y_1=4\cos\pi(40t+x)/2(SI)$ 则在x=0毛x=10 m内两波叠加后的节点位置是:

题目解答

在 ( x = 0 ) 处，两列波的叠加为：

$[y(0,t)=y_1(0,t)+y_2(0,t)=8\cos(20\pi t)]$

在 $(x=10,\text{m})$ 处：

$[y(10,t)=y_1(10,t)+y_2(10,t)=$

$4\cos(20\pi t-\frac{\pi}{2})+4\cos(20\pi t+\frac{\pi}{2})]$

利用余弦函数的相位关系，可将以上表达式简化为：

$[y(10,t)=4\sin(20\pi t)+4\sin(20\pi t)=8\sin(20\pi t)]$

为寻找节点位置，设置 ( y = 0 )：

对于 ( x = 0 ) 的情况：

$[8\cos(20\pi t)=0\Rightarrow\cos(20\pi t)=0]$

$[ 20\pi t = \frac{\pi}{2} + n\pi \quad (n \in \mathbb{Z}) ]$

$[ t = \frac{1}{40}\left(\frac{1}{2} + n\right) \quad (n \in \mathbb{Z}) ]$

对于 ( x = 10 ) 的情况：

$[8\sin(20\pi t)=0\Rightarrow\sin(20\pi t)=0]$

$[ 20\pi t = n\pi \quad (n \in \mathbb{Z}) ]$

$[ t = \frac{n}{20} \quad (n \in \mathbb{Z}) ]$

节点位置

结合两列波的情况，节点满足：

对于 ( x = 0 )，节点在 $(t=\frac{1}{40}\left(\frac{1}{2}+n\right))$

对于 ( x = 10 )，节点在 $(t=\frac{n}{20})$

找到两者交集，得出节点的条件。设 $(t=\frac{n}{20})$ 带入第一个方程：

$[\frac{n}{20}=\frac{1}{40}\left(\frac{1}{2}+m\right)]$

求解后得节点位置为：

$[x=0,\text{和},x=10,\text{都为节点}]$

结论

在 ( x = 0 ) 和 ( x = 10 ) 米内的节点位置为：0 m 和 10 m。

考查要点：本题主要考查波的叠加原理及节点的判断。需要理解两列波叠加时，振动加强点和节点的条件，以及如何通过波的表达式确定特定点的振动情况。

解题核心思路：

破题关键点：

步骤1：代入$x=0$处的波叠加

第一列波：$y_1(0,t) = 4\cos(20\pi t)$
第二列波：$y_2(0,t) = 4\cos(20\pi t)$
合成波：$g(0,t) = y_1 + y_2 = 8\cos(20\pi t)$
节点条件：$8\cos(20\pi t) = 0 \Rightarrow \cos(20\pi t) = 0$
解得：$20\pi t = \frac{\pi}{2} + n\pi \Rightarrow t = \frac{1}{40}\left(\frac{1}{2} + n\right)$，其中$n \in \mathbb{Z}$。

步骤2：代入$x=10$米处的波叠加

第一列波：$y_1(10,t) = 4\cos\left(20\pi t - \frac{5\pi}{2}\right) = 4\sin(20\pi t)$
第二列波：$y_2(10,t) = 4\cos\left(20\pi t + \frac{5\pi}{2}\right) = 4\sin(20\pi t)$
合成波：$g(10,t) = y_1 + y_2 = 8\sin(20\pi t)$
节点条件：$8\sin(20\pi t) = 0 \Rightarrow \sin(20\pi t) = 0$
解得：$20\pi t = n\pi \Rightarrow t = \frac{n}{20}$，其中$n \in \mathbb{Z}$。

步骤3：寻找共同节点