题目
2.求由下列各组曲线所围成的图形的面积:-|||-(1) =dfrac (1)(2)(x)^2 与 ^2+(y)^2=8 (两部分都要计算);
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定交点
首先，我们需要找到曲线 $y=\dfrac {1}{2}{x}^{2}$ 与 ${x}^{2}+{y}^{2}=8$ 的交点。将 $y=\dfrac {1}{2}{x}^{2}$ 代入 ${x}^{2}+{y}^{2}=8$，得到 ${x}^{2}+(\dfrac {1}{2}{x}^{2})^{2}=8$，即 ${x}^{2}+\dfrac {1}{4}{x}^{4}=8$。解这个方程，得到 $x=\pm 2$，对应的 $y=2$。因此，交点为 (-2,2) 和 (2,2)。
步骤 2：计算图形D1的面积
取x为积分变量，x的变化范围为 $[ -2,2] $。对于 $[ -2,2] $ 上的任一小区间 $[ x,x+dx] $，窄条面积近似于高为 $\sqrt {8-{x}^{2}}-\dfrac {1}{2}{x}^{2}$、底为dx的窄矩形的面积。因此，图形D1的面积为 ${A}_{1}={\int }_{-2}^{2}(\sqrt {8-{x}^{2}}-\dfrac {1}{2}{x}^{2})dx=2{\int }_{0}^{2}(\sqrt {8-{x}^{2}}-\dfrac {1}{2}{x}^{2})dx$。计算这个积分，得到 ${A}_{1}=2{[ \dfrac {x}{2}\sqrt {8-{x}^{2}}+4\arcsin \dfrac {x}{2\sqrt {2}}-\dfrac {1}{6}{x}^{3}] }^{2}=2\pi +\dfrac {4}{3}$。
步骤 3：计算图形D2的面积
图形D2的面积为圆的面积减去图形D1的面积。圆的面积为 $\pi {(2\sqrt {2})}^{2}=8\pi$。因此，图形D2的面积为 ${A}_{2}=8\pi -(2\pi +\dfrac {4}{3})=6\pi -\dfrac {4}{3}$。
首先，我们需要找到曲线 $y=\dfrac {1}{2}{x}^{2}$ 与 ${x}^{2}+{y}^{2}=8$ 的交点。将 $y=\dfrac {1}{2}{x}^{2}$ 代入 ${x}^{2}+{y}^{2}=8$，得到 ${x}^{2}+(\dfrac {1}{2}{x}^{2})^{2}=8$，即 ${x}^{2}+\dfrac {1}{4}{x}^{4}=8$。解这个方程，得到 $x=\pm 2$，对应的 $y=2$。因此，交点为 (-2,2) 和 (2,2)。
步骤 2：计算图形D1的面积
取x为积分变量，x的变化范围为 $[ -2,2] $。对于 $[ -2,2] $ 上的任一小区间 $[ x,x+dx] $，窄条面积近似于高为 $\sqrt {8-{x}^{2}}-\dfrac {1}{2}{x}^{2}$、底为dx的窄矩形的面积。因此，图形D1的面积为 ${A}_{1}={\int }_{-2}^{2}(\sqrt {8-{x}^{2}}-\dfrac {1}{2}{x}^{2})dx=2{\int }_{0}^{2}(\sqrt {8-{x}^{2}}-\dfrac {1}{2}{x}^{2})dx$。计算这个积分，得到 ${A}_{1}=2{[ \dfrac {x}{2}\sqrt {8-{x}^{2}}+4\arcsin \dfrac {x}{2\sqrt {2}}-\dfrac {1}{6}{x}^{3}] }^{2}=2\pi +\dfrac {4}{3}$。
步骤 3：计算图形D2的面积
图形D2的面积为圆的面积减去图形D1的面积。圆的面积为 $\pi {(2\sqrt {2})}^{2}=8\pi$。因此，图形D2的面积为 ${A}_{2}=8\pi -(2\pi +\dfrac {4}{3})=6\pi -\dfrac {4}{3}$。