[题目]极限-|||-lim _(narrow infty )(dfrac (1)(sqrt {{n)^2+1}}+dfrac (1)(sqrt {{n)^2+2}}+... +dfrac (1)(sqrt {{n)^2+n}})= __

考查要点：本题主要考查数列极限的计算，特别是利用夹逼定理处理含根号的和式极限问题。

解题核心思路：

1. 观察到每一项的分母$\sqrt{n^2 + k}$介于$n$和$\sqrt{n^2 + n}$之间，从而对整个和式构造上下界。
2. 通过夹逼定理证明上下界的极限均为$1$，从而确定原式的极限值。

破题关键点：

• 分母的放缩：对每个$k$，有$n \leq \sqrt{n^2 + k} \leq \sqrt{n^2 + n}$。
• 和式的上下界构造：利用上述不等式，将原和式夹在两个易于求极限的表达式之间。

步骤1：构造和式的上下界

对于每个$k$（$1 \leq k \leq n$），有：
$n \leq \sqrt{n^2 + k} \leq \sqrt{n^2 + n}$
取倒数并乘以$1$，得：
$\frac{1}{\sqrt{n^2 + n}} \leq \frac{1}{\sqrt{n^2 + k}} \leq \frac{1}{n}$

将上述不等式对$k$从$1$到$n$求和，得到：
$\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2 + n}} \leq \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2 + k}} \leq \sum_{k=1}^n \frac{1}{n}$

步骤2：计算上下界的极限

1. 下界：
   $\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2 + n}} = n \cdot \frac{1}{\sqrt{n^2 + n}} = \frac{n}{n\sqrt{1 + \frac{1}{n}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}}}$
   当$n \to \infty$时，$\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}}} \to 1$。

2. 上界：
   $\sum_{k=1}^n \frac{1}{n} = n \cdot \frac{1}{n} = 1$

步骤3：应用夹逼定理

由于下界和上界的极限均为$1$，根据夹逼定理，原式的极限为：
$$
\lim{n \to \infty} \sum{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2 + k}} = 1

---