题目
计算下列对坐标的曲线积分:-|||-(6) int xdx+ydy+(x+y-1)dz, 其中I是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线;
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定直线参数方程
直线I的参数方程为: x=1+t ,y=1+2t ,z=1+3t ,t从0变到1.这是因为从点(1,1,1)到点(2,3,4)的直线可以表示为从起点到终点的向量，即(1,1,1) + t(1,2,3)，其中t从0变到1。
步骤 2：计算dx, dy, dz
根据参数方程，我们有dx/dt = 1, dy/dt = 2, dz/dt = 3。因此，dx = dt, dy = 2dt, dz = 3dt。
步骤 3：代入积分表达式
将x, y, z, dx, dy, dz代入积分表达式中，得到积分表达式为$\int_{0}^{1} (1+t)dt + (1+2t)2dt + ((1+t)+(1+2t)-1)3dt$。
步骤 4：计算积分
计算积分$\int_{0}^{1} (1+t)dt + (1+2t)2dt + ((1+t)+(1+2t)-1)3dt$，得到$\int_{0}^{1} (1+t)dt + (1+2t)2dt + (2t+1)3dt$ = $\int_{0}^{1} (1+t+2+4t+6t+3)dt$ = $\int_{0}^{1} (6+11t)dt$ = $[6t + \frac{11}{2}t^2]_{0}^{1}$ = $6 + \frac{11}{2}$ = $13$。
直线I的参数方程为: x=1+t ,y=1+2t ,z=1+3t ,t从0变到1.这是因为从点(1,1,1)到点(2,3,4)的直线可以表示为从起点到终点的向量，即(1,1,1) + t(1,2,3)，其中t从0变到1。
步骤 2：计算dx, dy, dz
根据参数方程，我们有dx/dt = 1, dy/dt = 2, dz/dt = 3。因此，dx = dt, dy = 2dt, dz = 3dt。
步骤 3：代入积分表达式
将x, y, z, dx, dy, dz代入积分表达式中，得到积分表达式为$\int_{0}^{1} (1+t)dt + (1+2t)2dt + ((1+t)+(1+2t)-1)3dt$。
步骤 4：计算积分
计算积分$\int_{0}^{1} (1+t)dt + (1+2t)2dt + ((1+t)+(1+2t)-1)3dt$，得到$\int_{0}^{1} (1+t)dt + (1+2t)2dt + (2t+1)3dt$ = $\int_{0}^{1} (1+t+2+4t+6t+3)dt$ = $\int_{0}^{1} (6+11t)dt$ = $[6t + \frac{11}{2}t^2]_{0}^{1}$ = $6 + \frac{11}{2}$ = $13$。