题目
2.求向量组vec(a)_(1)=(1,4,1,0)^T,vec(a)_(2)=(2,9,-1,-3)^T,vec(a)_(3)=(1,0,-3,-1)^T,vec(a)_(4)=(3,10,-7,-7)^T的秩和一个极大无关组，并把向量组中不属于极大无关组的向量用所选的极大无关组线性表示.
2.求向量组$\vec{a}_{1}=(1,4,1,0)^{T},\vec{a}_{2}=(2,9,-1,-3)^{T},\vec{a}_{3}=(1,0,-3,-1)^{T},\vec{a}_{4}=(3,10,-7,-7)^{T}$的秩和一个极大无关组，并把向量组中不属于极大无关组的向量用所选的极大无关组线性表示.
题目解答
答案
将向量组构成矩阵并进行行初等变换至行最简形：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 3 \\
4 & 9 & 0 & 10 \\
1 & -1 & -3 & -7 \\
0 & -3 & -1 & -7
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & -2 \\
0 & 1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
由行最简形知，向量组的秩为3，主元列对应向量 $\vec{a}_1, \vec{a}_2, \vec{a}_3$ 构成极大无关组。非主元列 $\vec{a}_4$ 可表示为：
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
\text{秩：} 3, \\
\text{极大无关组：} \vec{a}_1, \vec{a}_2, \vec{a}_3, \\
\vec{a}_4 = -2\vec{a}_1 + 2\vec{a}_2 + \vec{a}_3.
\end{array}
}
\]
解析
考查要点：本题主要考查向量组的秩、极大无关组的求解，以及用极大无关组线性表示其他向量的能力。
解题核心思路：
- 构造矩阵：将向量组作为列向量构成矩阵。
- 行简化阶梯形：通过初等行变换化简矩阵，确定主元列（对应极大无关组）和非主元列（可被线性表示）。
- 秩的确定：主元的个数即为向量组的秩。
- 线性表示：非主元列对应的向量可通过行最简形矩阵的系数表示为其他向量的线性组合。
破题关键点：
- 主元列的判断：行最简形矩阵中每行第一个非零元素所在的列为主元列。
- 系数提取：非主元列对应的元素（最后一列）即为线性组合的系数。
将向量组构成矩阵并进行行初等变换至行最简形：
原矩阵：
$\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 3 \\4 & 9 & 0 & 10 \\1 & -1 & -3 & -7 \\0 & -3 & -1 & -7\end{pmatrix}$
行变换过程：
-
第一列处理：用第一行消去第二、三行的第一列元素，得到：
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -4 & -2 \\ 0 & -5 & -4 & -8 \\ 0 & -3 & -1 & -7 \end{pmatrix}$ -
第二列处理：用第二行消去第三、四行的第二列元素，得到：
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -4 & -2 \\ 0 & 0 & -24 & -18 \\ 0 & 0 & -13 & -13 \end{pmatrix}$ -
第三列处理：将第三行除以-24，再消去第四行的第三列元素，最终得到行最简形：
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
结论：
- 秩：主元有3个，故秩为3。
- 极大无关组：主元列对应原向量$\vec{a}_1, \vec{a}_2, \vec{a}_3$。
- 线性表示：非主元列$\vec{a}_4$的系数为$-2, 2, 1$，即：
$\vec{a}_4 = -2\vec{a}_1 + 2\vec{a}_2 + \vec{a}_3$