3.设随机变量X和Y的分布列分别为-|||-X .-1 0 1 Y 0 1-|||-P .1/4 1/2 .1/4 P .1/2 .1/2-|||-已知 P(XY=0)=1 ,试求 =max X,Y 的分布列.

本题主要考察随机变量的分布列性质、事件概率计算以及最大值分布列的求解，关键在于利用已知条件$P(XY=0)=1$推导$X$与$Y$的联合分布，再计算$Z=\max\{X,Y\}$的分布列。

步骤1：理解$P(XY=0)=1$的含义

$P(XY=0)=1$表示$XY\neq0$是概率为0的事件，即$X$和$Y$不可能同时非零。$X$的可能取值为$-1,0,1$，$Y$的可能取值为$0,1$，因此：

• 当$Y=1$时，$X$不能为$\pm1$（否则$XY=\pm1\neq0$），故$Y=1$时必有$X=0$；
• 当$Y=0$时，$X$可取$-1,0,1$（因$XY=0$恒成立）。

步骤2：计算边缘概率与联合概率

已知$X$的分布列：$P(X=-1)=1/4$，$P(X=0)=1/2$，$P(X=1)=1/4$；
$Y$的分布列：$P(Y=0)=1/2$，$P(Y=1)=1/2$。

关键联合概率计算

• $P(Y=1,X=0)$：由$Y=1$时$X=0$，得$P(Y=1,X=0)=P(Y=1)=1/2$（因$Y=1$的概率全部分布在$X=0$处）；
• $P(Y=0)$对应的$X$分布：$P(Y=0)=P(X=-1,Y=0)+P(X=0,Y=0)+P(X=1,Y=0)=1/2$，且这三个概率之和为$1/2$。

步骤3：确定$Z=\max\{X,Y\}$的可能取值

$X\in\{-1,0,1\}$，$Y\in\{0,1\}$，故$\max\{X,Y\}$的可能取值为$0,1$：

• $Z=0$当且仅当$\max\{X,Y\}=0$，即$X\leq0$且$Y=0$，对应$(X=-1,Y=0)$和$(X=0,Y=0)$；
• $Z=1$当且仅当$\max\{X,Y\}=1$，即$X=1,Y=0$或$Y=1$（此时$X=0$），对应$(X=1,Y=0)$和$(X=0,Y=1)$。

步骤4：计算$Z$的概率

• $P(Z=0)=P(X=-1,Y=0)+P(X=0,Y=0)$：
  因$P(X=-1,Y=0)=P(X=-1)=1/4$（$X=-1$时$Y$必为0），$P(X=0,Y=0)=P(X=0)-P(X=0,Y=1)=1/2 - 1/2=0$，故$P(Z=0)=1/4 + 0=0.25$？
  （注：原答案可能简化计算，直接得\1}P(Z=0)=0.25)，$P(Z=1)=0.75$）。