题目
32.设一个系统由5个元件组成,连接方式如图2.6所示.元件1,5的可靠-|||-性均为 (0lt rlt 1), 元件2,3,4的可靠性均为 (0lt plt 1), 且各元件能否正常工作-|||-是相互独立的.试求:-|||-(1)这个系统的可靠性;-|||-(2)在这个系统正常工作时,元件2,3,4中仅有一个在正常工作的概率.-|||-2-|||-1 3 5-|||-4-|||-图2.6
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算系统可靠性
系统正常工作需要元件1和5都正常工作，同时元件2,3,4中至少有一个正常工作。元件1和5的可靠性均为 $r$，元件2,3,4的可靠性均为 $p$。因此，系统可靠性为元件1和5的可靠性乘以元件2,3,4中至少有一个正常工作的概率。
元件2,3,4中至少有一个正常工作的概率为 $1$ 减去它们都失效的概率，即 $1-(1-p)^3$。
因此，系统可靠性为 $r^2(1-(1-p)^3)$。
步骤 2：计算元件2,3,4中仅有一个正常工作的概率
元件2,3,4中仅有一个正常工作的概率为 $3p(1-p)^2$，因为有三种情况：元件2正常，元件3和4失效；元件3正常，元件2和4失效；元件4正常，元件2和3失效。
步骤 3：计算条件概率
在这个系统正常工作时，元件2,3,4中仅有一个在正常工作的概率为元件2,3,4中仅有一个正常工作的概率除以系统可靠性。
系统正常工作需要元件1和5都正常工作，同时元件2,3,4中至少有一个正常工作。元件1和5的可靠性均为 $r$，元件2,3,4的可靠性均为 $p$。因此，系统可靠性为元件1和5的可靠性乘以元件2,3,4中至少有一个正常工作的概率。
元件2,3,4中至少有一个正常工作的概率为 $1$ 减去它们都失效的概率，即 $1-(1-p)^3$。
因此，系统可靠性为 $r^2(1-(1-p)^3)$。
步骤 2：计算元件2,3,4中仅有一个正常工作的概率
元件2,3,4中仅有一个正常工作的概率为 $3p(1-p)^2$，因为有三种情况：元件2正常，元件3和4失效；元件3正常，元件2和4失效；元件4正常，元件2和3失效。
步骤 3：计算条件概率
在这个系统正常工作时，元件2,3,4中仅有一个在正常工作的概率为元件2,3,4中仅有一个正常工作的概率除以系统可靠性。