题目

已知X服从 p=0.6 的(0,1)分布,且在 X=0 及 X=1 的条件下,Y的条件分布分别为-|||-Y 1 2 3 Y 1 2 3-|||- Y|X=0 dfrac (1)(4) dfrac (1)(2) a Y|X=1 dfrac (1)(2) b 1/31-|||-求:(1)常数a,b;-|||-(2)二维随机变量(X,Y)的分布律;-|||-(3) Y=1 的条件下X的条件分布律。

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查条件概率分布的性质、联合分布律的计算以及条件分布律的求解方法。

解题思路：

  1. 条件概率分布的归一性：利用条件分布的概率和为1，直接解出未知常数a和b。
  2. 联合分布律的构建：通过全概率公式，结合X的边缘分布和条件分布，计算联合概率。
  3. 条件分布律的计算：根据条件概率公式，结合联合分布律和边缘分布律求解。

破题关键：

  • 条件分布的归一性是求解a和b的核心。
  • 联合分布律需明确X和Y的取值组合，并正确应用乘法规则。
  • 条件分布律需先计算Y的边缘分布，再代入条件概率公式。

(1) 求常数a和b

当X=0时

条件分布概率和为1：
$\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + a = 1 \implies a = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}.$

当X=1时

条件分布概率和为1：
$\frac{1}{2} + b + \frac{1}{3} = 1 \implies b = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}.$

(2) 求二维随机变量(X,Y)的分布律

计算联合概率

  • 当X=0时：

    • $P(X=0,Y=1) = P(X=0) \cdot P(Y=1|X=0) = 0.4 \cdot \frac{1}{4} = 0.1$，
    • $P(X=0,Y=2) = 0.4 \cdot \frac{1}{2} = 0.2$，
    • $P(X=0,Y=3) = 0.4 \cdot \frac{1}{4} = 0.1$。

  • 当X=1时：

    • $P(X=1,Y=1) = 0.6 \cdot \frac{1}{2} = 0.3$，
    • $P(X=1,Y=2) = 0.6 \cdot \frac{1}{6} = 0.1$，
    • $P(X=1,Y=3) = 0.6 \cdot \frac{1}{3} = 0.2$。

分布律表格

X \ Y 1 2 3
0 0.1 0.2 0.1
1 0.3 0.1 0.2

(3) 求Y=1时X的条件分布律

计算边缘分布$P(Y=1)$

$P(Y=1) = P(X=0,Y=1) + P(X=1,Y=1) = 0.1 + 0.3 = 0.4.$

条件概率计算

  • $P(X=0|Y=1) = \frac{P(X=0,Y=1)}{P(Y=1)} = \frac{0.1}{0.4} = \frac{1}{4}$，
  • $P(X=1|Y=1) = \frac{0.3}{0.4} = \frac{3}{4}$。