lim _((x, y) arrow(1,0)) (ln (1+x y))/(y)= ______.

令 $ f(x, y) = \frac{\ln(1+xy)}{y} $，定义域为 $ D = \{ (x, y) \mid y \neq 0, xy > -1 \} $。点 $ P_0(1,0) $ 是 $ D $ 的聚点。 将原式改写为： \[ \lim_{(x,y) \to (1,0)} \frac{\ln(1+xy)}{y} = \lim_{(x,y) \to (1,0)} \left( \frac{\ln(1+xy)}{xy} \cdot x \right) \] 当 $ (x, y) \to (1,0) $ 时，$ xy \to 0 $，由等价无穷小 $ \ln(1+u) \sim u $（当 $ u \to 0 $）得： \[ \lim_{xy \to 0} \frac{\ln(1+xy)}{xy} = 1 \] 同时，$ \lim_{x \to 1} x = 1 $。根据极限运算法则： \[ \lim_{(x,y) \to (1,0)} \left( \frac{\ln(1+xy)}{xy} \cdot x \right) = 1 \cdot 1 = 1 \] 因此，原极限为 $ 1 $。 答案：$ 1 $。